MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetres2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmetres2 22386
Description: Restriction of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetres2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅))

Proof of Theorem xmetres2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6361 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
21adantr 466 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3 simpr 471 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → 𝑅𝑋)
42, 3ssexd 4939 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → 𝑅 ∈ V)
5 xmetf 22354 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
65adantr 466 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
7 xpss12 5264 . . . 4 ((𝑅𝑋𝑅𝑋) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
83, 7sylancom 576 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
96, 8fssresd 6211 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)):(𝑅 × 𝑅)⟶ℝ*)
10 ovres 6947 . . . . 5 ((𝑥𝑅𝑦𝑅) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
1110adantl 467 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
1211eqeq1d 2773 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → ((𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑦) = 0))
13 simpll 750 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14 simplr 752 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑅𝑋)
15 simprl 754 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑥𝑅)
1614, 15sseldd 3753 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑥𝑋)
17 simprr 756 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑦𝑅)
1814, 17sseldd 3753 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑦𝑋)
19 xmeteq0 22363 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
2013, 16, 18, 19syl3anc 1476 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
2112, 20bitrd 268 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → ((𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
22 simpll 750 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
23 simplr 752 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑅𝑋)
24 simpr3 1237 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑧𝑅)
2523, 24sseldd 3753 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑧𝑋)
26163adantr3 1176 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑥𝑋)
27183adantr3 1176 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑦𝑋)
28 xmettri2 22365 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
2922, 25, 26, 27, 28syl13anc 1478 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
30113adantr3 1176 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
31 simpr1 1233 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑥𝑅)
3224, 31ovresd 6948 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑥) = (𝑧𝐷𝑥))
33 simpr2 1235 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑦𝑅)
3424, 33ovresd 6948 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑧𝐷𝑦))
3532, 34oveq12d 6811 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → ((𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑥) +𝑒 (𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦)) = ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
3629, 30, 353brtr4d 4818 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) ≤ ((𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑥) +𝑒 (𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦)))
374, 9, 21, 36isxmetd 22351 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723   class class class wbr 4786   × cxp 5247  dom cdm 5249  cres 5251  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  *cxr 10275  cle 10277   +𝑒 cxad 12149  ∞Metcxmt 19946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-map 8011  df-xr 10280  df-xmet 19954
This theorem is referenced by:  metres2  22388  xmetres  22389  xpsxmet  22405  xpsdsval  22406  xmetresbl  22462  tmsxms  22511  imasf1oxms  22514  metrest  22549  prdsxms  22555  tmsxpsval  22563  nrginvrcn  22716  divcn  22891  iitopon  22902  cncfmet  22931  cfilres  23313  dvlip2  23978  ftc1lem6  24024  ulmdvlem1  24374  ulmdvlem3  24376  abelth  24415  cxpcn3  24710  rlimcnp  24913  minvecolem4b  28074  minvecolem4  28076  ftc1cnnc  33816  blbnd  33918  ismtyres  33939  reheibor  33970
  Copyright terms: Public domain W3C validator