MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetpsmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmetpsmet 22373
Description: An extended metric is a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
xmetpsmet (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))

Proof of Theorem xmetpsmet
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetf 22354 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2 xmet0 22367 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) = 0)
3 3anrot 1086 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) ↔ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋))
4 xmettri2 22365 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
53, 4sylan2br 582 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
653anassrs 1453 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
76ralrimiva 3115 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
87ralrimiva 3115 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
92, 8jca 501 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥𝐷𝑥) = 0 ∧ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
109ralrimiva 3115 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐷𝑥) = 0 ∧ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
11 elfvex 6364 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
12 ispsmet 22329 . . 3 (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐷𝑥) = 0 ∧ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
1311, 12syl 17 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐷𝑥) = 0 ∧ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
141, 10, 13mpbir2and 692 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  Vcvv 3351   class class class wbr 4787   × cxp 5248  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  0cc0 10142  *cxr 10279  cle 10281   +𝑒 cxad 12149  PsMetcpsmet 19945  ∞Metcxmt 19946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-map 8015  df-xr 10284  df-psmet 19953  df-xmet 19954
This theorem is referenced by:  blfval  22409  xmetutop  22593  xmsusp  22594  cfilucfil3  23336  cmetcusp  23369  cnflduss  23371  reust  23388  qqhucn  30376  sitmcl  30753  heicant  33777  metpsmet  39789  ioorrnopnlem  41038
  Copyright terms: Public domain W3C validator