MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xltnegi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xltnegi 12085
Description: Forward direction of xltneg 12086. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xltnegi ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)

Proof of Theorem xltnegi
StepHypRef Expression
1 elxr 11988 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 elxr 11988 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
3 ltneg 10566 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))
4 rexneg 12080 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
5 rexneg 12080 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
64, 5breqan12rd 4702 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 ↔ -𝐵 < -𝐴))
73, 6bitr4d 271 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
87biimpd 219 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
9 xnegeq 12076 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
10 xnegpnf 12078 . . . . . . . . . . 11 -𝑒+∞ = -∞
119, 10syl6eq 2701 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -∞)
1211adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 = -∞)
13 renegcl 10382 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
145, 13eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
15 mnflt 11995 . . . . . . . . . . 11 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → -∞ < -𝑒𝐴)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < -𝑒𝐴)
1716adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -∞ < -𝑒𝐴)
1812, 17eqbrtrd 4707 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)
1918a1d 25 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
20 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
2120breq2d 4697 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < -∞))
22 rexr 10123 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
23 nltmnf 12001 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < -∞)
2524adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
2625pm2.21d 118 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < -∞ → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
2721, 26sylbid 230 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
288, 19, 273jaodan 1434 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
292, 28sylan2b 491 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
3029expimpd 628 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
31 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = +∞)
3231breq1d 4695 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
33 pnfnlt 12000 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐵)
3433adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ +∞ < 𝐵)
3534pm2.21d 118 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (+∞ < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
3632, 35sylbid 230 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
3736expimpd 628 . . . 4 (𝐴 = +∞ → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
38 breq1 4688 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ -∞ < 𝐵))
3938anbi2d 740 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵)))
40 renegcl 10382 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
414, 40eqeltrd 2730 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
4241adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
43 ltpnf 11992 . . . . . . . . 9 (-𝑒𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 < +∞)
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
4511adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐵 = +∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 = -∞)
46 mnfltpnf 11998 . . . . . . . . 9 -∞ < +∞
4745, 46syl6eqbr 4724 . . . . . . . 8 ((𝐵 = +∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
48 breq2 4689 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = -∞ → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < -∞))
49 mnfxr 10134 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
50 nltmnf 12001 . . . . . . . . . . . 12 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ¬ -∞ < -∞
5251pm2.21i 116 . . . . . . . . . 10 (-∞ < -∞ → -𝑒𝐵 < +∞)
5348, 52syl6bi 243 . . . . . . . . 9 (𝐵 = -∞ → (-∞ < 𝐵 → -𝑒𝐵 < +∞))
5453imp 444 . . . . . . . 8 ((𝐵 = -∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
5544, 47, 543jaoian 1433 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞) ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
562, 55sylanb 488 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
57 xnegeq 12076 . . . . . . . 8 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
58 xnegmnf 12079 . . . . . . . 8 -𝑒-∞ = +∞
5957, 58syl6eq 2701 . . . . . . 7 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
6059breq2d 4697 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 ↔ -𝑒𝐵 < +∞))
6156, 60syl5ibr 236 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
6239, 61sylbid 230 . . . 4 (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
6330, 37, 623jaoi 1431 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
641, 63sylbi 207 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
65643impib 1281 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3o 1053  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cr 9973  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  *cxr 10111   < clt 10112  -cneg 10305  -𝑒cxne 11981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-xneg 11984
This theorem is referenced by:  xltneg  12086  xrsdsreclblem  19840
  Copyright terms: Public domain W3C validator