Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimxrre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimxrre 40560
 Description: If a sequence ranging over the extended reals converges w.r.t. the standard topology on the complex numbers, then there exists an upper set of the integers over which the function is real-valued (the weaker hypothesis 𝐹 ∈ dom ⇝ is probably not enough, since in principle we could have +∞ ∈ ℂ and -∞ ∈ ℂ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimxrre.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimxrre.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimxrre.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimxrre.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
xlimxrre.c (𝜑𝐹~~>*𝐴)
Assertion
Ref Expression
xlimxrre (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍   𝜑,𝑗

Proof of Theorem xlimxrre
Dummy variables 𝑘 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elioore 12398 . . . . . . 7 ((𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
21anim2i 594 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
32ralimi 3090 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
43adantl 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
5 xlimxrre.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
65ffund 6210 . . . . . 6 (𝜑 → Fun 𝐹)
7 ffvresb 6557 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
98adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
104, 9mpbird 247 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
1110adantrl 754 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
12 xlimxrre.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
13 peano2rem 10540 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
1514rexrd 10281 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ*)
16 peano2re 10401 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
1712, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
1817rexrd 10281 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ*)
1912ltm1d 11148 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)
2012ltp1d 11146 . . . 4 (𝜑𝐴 < (𝐴 + 1))
2115, 18, 12, 19, 20eliood 40223 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))
22 iooordt 21223 . . . 4 ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) ∈ (ordTop‘ ≤ )
23 xlimxrre.c . . . . . 6 (𝜑𝐹~~>*𝐴)
24 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑘𝐹
25 xlimxrre.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
26 xlimxrre.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
27 eqid 2760 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
2824, 25, 26, 5, 27xlimbr 40556 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
2923, 28mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
3029simprd 482 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
31 eleq2 2828 . . . . . 6 (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → (𝐴𝑢𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))
32 eleq2 2828 . . . . . . . 8 (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))
3332anbi2d 742 . . . . . . 7 (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
3433rexralbidv 3196 . . . . . 6 (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
3531, 34imbi12d 333 . . . . 5 (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ((𝐴𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))))
3635rspcva 3447 . . . 4 ((((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))) → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
3722, 30, 36sylancr 698 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
3821, 37mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))
3911, 38reximddv 3156 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ∃wrex 3051   class class class wbr 4804  dom cdm 5266   ↾ cres 5268  Fun wfun 6043  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℝcr 10127  1c1 10129   + caddc 10131  ℝ*cxr 10265   ≤ cle 10267   − cmin 10458  ℤcz 11569  ℤ≥cuz 11879  (,)cioo 12368  ordTopcordt 16361  ~~>*clsxlim 40547 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-topgen 16306  df-ordt 16363  df-ps 17401  df-tsr 17402  df-top 20901  df-topon 20918  df-bases 20952  df-lm 21235  df-xlim 40548 This theorem is referenced by:  xlimclim2  40569
 Copyright terms: Public domain W3C validator