Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimpnfvlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimpnfvlem2 40558
 Description: Lemma for xlimpnfv 40559: the "if" part of the biconditional. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimpnfvlem2.k 𝑘𝜑
xlimpnfvlem2.j 𝑗𝜑
xlimpnfvlem2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfvlem2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimpnfvlem2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimpnfvlem2.g (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
xlimpnfvlem2 (𝜑𝐹~~>*+∞)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem xlimpnfvlem2
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letopon 21203 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
21a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
32elfvexd 6375 . . . . 5 (𝜑 → ℝ* ∈ V)
4 cnex 10201 . . . . . 6 ℂ ∈ V
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ∈ V)
6 xlimpnfvlem2.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7 xlimpnfvlem2.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
87uzsscn2 40198 . . . . . 6 𝑍 ⊆ ℂ
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑍 ⊆ ℂ)
10 elpm2r 8033 . . . . 5 (((ℝ* ∈ V ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍⟶ℝ*𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
113, 5, 6, 9, 10syl22anc 1474 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
12 pnfxr 10276 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
14 pnfnei 21218 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ +∞ ∈ 𝑢) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢)
1514adantll 752 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )) ∧ +∞ ∈ 𝑢) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢)
16 xlimpnfvlem2.j . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝜑
17 nfv 1984 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 𝑥 ∈ ℝ
1816, 17nfan 1969 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(𝜑𝑥 ∈ ℝ)
19 nfv 1984 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢
2018, 19nfan 1969 . . . . . . . . . . 11 𝑗((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢)
21 simprr 813 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
22 xlimpnfvlem2.k . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘𝜑
23 nfv 1984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘 𝑥 ∈ ℝ
2422, 23nfan 1969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝜑𝑥 ∈ ℝ)
25 nfv 1984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢
2624, 25nfan 1969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢)
27 nfv 1984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘 𝑗𝑍
2826, 27nfan 1969 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍)
297uztrn2 11889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
30293adant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
316fdmd 39911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
32313ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → dom 𝐹 = 𝑍)
3330, 32eleqtrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
3433ad5ant134 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
3534adantl4r 804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
36 simp-4r 827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢)
3736adantl4r 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢)
38 simp-4r 827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → 𝑥 ∈ ℝ)
39 rexr 10269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → +∞ ∈ ℝ*)
42 simp-4l 825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → 𝜑)
4329ad4ant23 1208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → 𝑘𝑍)
446ffvelrnda 6514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
4542, 43, 44syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
46 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → 𝑥 < (𝐹𝑘))
4763ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
4847, 30ffvelrnd 6515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
4948pnfged 40194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ≤ +∞)
5049ad5ant134 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ≤ +∞)
5140, 41, 45, 46, 50eliocd 40225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(,]+∞))
5251adantl3r 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(,]+∞))
5337, 52sseldd 3737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)
5435, 53jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
5554ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑥 < (𝐹𝑘) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
5628, 55ralimda 39817 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
5756adantrr 755 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
5821, 57mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
59583impb 1107 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
60 xlimpnfvlem2.g . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
6160r19.21bi 3062 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
6261adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
6320, 59, 62reximdd 39835 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
64 xlimpnfvlem2.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
657rexuz3 14279 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
6766ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
6863, 67mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
6968rexlimdva2 39830 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
7069ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )) ∧ +∞ ∈ 𝑢) → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
7115, 70mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )) ∧ +∞ ∈ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
7271ex 449 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
7372ralrimiva 3096 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
7411, 13, 733jca 1122 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ) ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
75 nfcv 2894 . . . 4 𝑘𝐹
7675, 2lmbr3 40474 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞ ↔ (𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ) ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
7774, 76mpbird 247 . 2 (𝜑𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞)
78 df-xlim 40540 . . . 4 ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
7978breqi 4802 . . 3 (𝐹~~>*+∞ ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞)
8079a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞))
8177, 80mpbird 247 1 (𝜑𝐹~~>*+∞)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1624  Ⅎwnf 1849   ∈ wcel 2131  ∀wral 3042  ∃wrex 3043  Vcvv 3332   ⊆ wss 3707   class class class wbr 4796  dom cdm 5258  ⟶wf 6037  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805   ↑pm cpm 8016  ℂcc 10118  ℝcr 10119  +∞cpnf 10255  ℝ*cxr 10257   < clt 10258   ≤ cle 10259  ℤcz 11561  ℤ≥cuz 11871  (,]cioc 12361  ordTopcordt 16353  TopOnctopon 20909  ⇝𝑡clm 21224  ~~>*clsxlim 40539 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fi 8474  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-z 11562  df-uz 11872  df-ioo 12364  df-ioc 12365  df-ico 12366  df-icc 12367  df-topgen 16298  df-ordt 16355  df-ps 17393  df-tsr 17394  df-top 20893  df-topon 20910  df-bases 20944  df-lm 21227  df-xlim 40540 This theorem is referenced by:  xlimpnfv  40559
 Copyright terms: Public domain W3C validator