Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimpnfvlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimpnfvlem2 40558
Description: Lemma for xlimpnfv 40559: the "if" part of the biconditional. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimpnfvlem2.k 𝑘𝜑
xlimpnfvlem2.j 𝑗𝜑
xlimpnfvlem2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfvlem2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimpnfvlem2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimpnfvlem2.g (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
xlimpnfvlem2 (𝜑𝐹~~>*+∞)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem xlimpnfvlem2
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letopon 21203 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
21a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
32elfvexd 6375 . . . . 5 (𝜑 → ℝ* ∈ V)
4 cnex 10201 . . . . . 6 ℂ ∈ V
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ∈ V)
6 xlimpnfvlem2.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7 xlimpnfvlem2.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
87uzsscn2 40198 . . . . . 6 𝑍 ⊆ ℂ
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑍 ⊆ ℂ)
10 elpm2r 8033 . . . . 5 (((ℝ* ∈ V ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍⟶ℝ*𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
113, 5, 6, 9, 10syl22anc 1474 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
12 pnfxr 10276 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
14 pnfnei 21218 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ +∞ ∈ 𝑢) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢)
1514adantll 752 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )) ∧ +∞ ∈ 𝑢) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢)
16 xlimpnfvlem2.j . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝜑
17 nfv 1984 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 𝑥 ∈ ℝ
1816, 17nfan 1969 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(𝜑𝑥 ∈ ℝ)
19 nfv 1984 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢
2018, 19nfan 1969 . . . . . . . . . . 11 𝑗((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢)
21 simprr 813 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
22 xlimpnfvlem2.k . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘𝜑
23 nfv 1984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘 𝑥 ∈ ℝ
2422, 23nfan 1969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝜑𝑥 ∈ ℝ)
25 nfv 1984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢
2624, 25nfan 1969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢)
27 nfv 1984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘 𝑗𝑍
2826, 27nfan 1969 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍)
297uztrn2 11889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
30293adant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
316fdmd 39911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
32313ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → dom 𝐹 = 𝑍)
3330, 32eleqtrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
3433ad5ant134 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
3534adantl4r 804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
36 simp-4r 827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢)
3736adantl4r 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢)
38 simp-4r 827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → 𝑥 ∈ ℝ)
39 rexr 10269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → +∞ ∈ ℝ*)
42 simp-4l 825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → 𝜑)
4329ad4ant23 1208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → 𝑘𝑍)
446ffvelrnda 6514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
4542, 43, 44syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
46 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → 𝑥 < (𝐹𝑘))
4763ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
4847, 30ffvelrnd 6515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
4948pnfged 40194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ≤ +∞)
5049ad5ant134 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ≤ +∞)
5140, 41, 45, 46, 50eliocd 40225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(,]+∞))
5251adantl3r 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(,]+∞))
5337, 52sseldd 3737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)
5435, 53jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
5554ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑥 < (𝐹𝑘) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
5628, 55ralimda 39817 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
5756adantrr 755 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
5821, 57mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
59583impb 1107 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
60 xlimpnfvlem2.g . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
6160r19.21bi 3062 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
6261adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
6320, 59, 62reximdd 39835 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
64 xlimpnfvlem2.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
657rexuz3 14279 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
6766ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
6863, 67mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
6968rexlimdva2 39830 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
7069ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )) ∧ +∞ ∈ 𝑢) → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
7115, 70mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )) ∧ +∞ ∈ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
7271ex 449 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
7372ralrimiva 3096 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
7411, 13, 733jca 1122 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ) ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
75 nfcv 2894 . . . 4 𝑘𝐹
7675, 2lmbr3 40474 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞ ↔ (𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ) ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
7774, 76mpbird 247 . 2 (𝜑𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞)
78 df-xlim 40540 . . . 4 ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
7978breqi 4802 . . 3 (𝐹~~>*+∞ ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞)
8079a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞))
8177, 80mpbird 247 1 (𝜑𝐹~~>*+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wnf 1849  wcel 2131  wral 3042  wrex 3043  Vcvv 3332  wss 3707   class class class wbr 4796  dom cdm 5258  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  pm cpm 8016  cc 10118  cr 10119  +∞cpnf 10255  *cxr 10257   < clt 10258  cle 10259  cz 11561  cuz 11871  (,]cioc 12361  ordTopcordt 16353  TopOnctopon 20909  𝑡clm 21224  ~~>*clsxlim 40539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fi 8474  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-z 11562  df-uz 11872  df-ioo 12364  df-ioc 12365  df-ico 12366  df-icc 12367  df-topgen 16298  df-ordt 16355  df-ps 17393  df-tsr 17394  df-top 20893  df-topon 20910  df-bases 20944  df-lm 21227  df-xlim 40540
This theorem is referenced by:  xlimpnfv  40559
  Copyright terms: Public domain W3C validator