Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimpnfvlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimpnfvlem1 40561
Description: Lemma for xlimpnfv 40563: the "only if" part of the biconditional. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimpnfvlem1.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfvlem1.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimpnfvlem1.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimpnfvlem1.c (𝜑𝐹~~>*+∞)
xlimpnfvlem1.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
xlimpnfvlem1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem xlimpnfvlem1
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iocpnfordt 21217 . . . . . 6 (𝑋(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
21a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
3 xlimpnfvlem1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐹~~>*+∞)
4 df-xlim 40544 . . . . . . . . 9 ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
54breqi 4806 . . . . . . . 8 (𝐹~~>*+∞ ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞)
63, 5sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞)
7 nfcv 2898 . . . . . . . 8 𝑘𝐹
8 letopon 21207 . . . . . . . . 9 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
98a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
107, 9lmbr3 40478 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞ ↔ (𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ) ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
116, 10mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ) ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
1211simp3d 1139 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
132, 12jca 555 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
14 xlimpnfvlem1.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1514rexrd 10277 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
1611simp2d 1138 . . . . 5 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
1714ltpnfd 12144 . . . . 5 (𝜑𝑋 < +∞)
18 ubioc1 12416 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑋 < +∞) → +∞ ∈ (𝑋(,]+∞))
1915, 16, 17, 18syl3anc 1477 . . . 4 (𝜑 → +∞ ∈ (𝑋(,]+∞))
20 eleq2 2824 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → (+∞ ∈ 𝑢 ↔ +∞ ∈ (𝑋(,]+∞)))
21 eleq2 2824 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)))
2221anbi2d 742 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))))
2322ralbidv 3120 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))))
2423rexbidv 3186 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))))
2520, 24imbi12d 333 . . . . 5 (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → ((+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (+∞ ∈ (𝑋(,]+∞) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)))))
2625rspcva 3443 . . . 4 (((𝑋(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))) → (+∞ ∈ (𝑋(,]+∞) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))))
2713, 19, 26sylc 65 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)))
28 nfv 1988 . . . 4 𝑗𝜑
29 nfv 1988 . . . . . 6 𝑘𝜑
3015adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
31 xlimpnfvlem1.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
3231ffdmd 6220 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℝ*)
3332ffvelrnda 6518 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
3433adantrr 755 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
3516adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → +∞ ∈ ℝ*)
36 simprr 813 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))
3730, 35, 36iocgtlbd 40297 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → 𝑋 < (𝐹𝑘))
3830, 34, 37xrltled 39981 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → 𝑋 ≤ (𝐹𝑘))
3938ex 449 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → 𝑋 ≤ (𝐹𝑘)))
4039adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → 𝑋 ≤ (𝐹𝑘)))
4129, 40ralimda 39821 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘)))
4241a1d 25 . . . 4 (𝜑 → (𝑗 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘))))
4328, 42reximdai 3146 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘)))
4427, 43mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘))
45 xlimpnfvlem1.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
46 xlimpnfvlem1.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
4746rexuz3 14283 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘)))
4845, 47syl 17 . 2 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘)))
4944, 48mpbird 247 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1628  wcel 2135  wral 3046  wrex 3047   class class class wbr 4800  dom cdm 5262  wf 6041  cfv 6045  (class class class)co 6809  pm cpm 8020  cc 10122  cr 10123  +∞cpnf 10259  *cxr 10261   < clt 10262  cle 10263  cz 11565  cuz 11875  (,]cioc 12365  ordTopcordt 16357  TopOnctopon 20913  𝑡clm 21228  ~~>*clsxlim 40543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-pm 8022  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-fi 8478  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-z 11566  df-uz 11876  df-ioo 12368  df-ioc 12369  df-ico 12370  df-icc 12371  df-topgen 16302  df-ordt 16359  df-ps 17397  df-tsr 17398  df-top 20897  df-topon 20914  df-bases 20948  df-lm 21231  df-xlim 40544
This theorem is referenced by:  xlimpnfv  40563
  Copyright terms: Public domain W3C validator