Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimpnfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimpnfv 40559
Description: A function converges to plus infinity if it eventually becomes (and stays) larger than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimpnfv.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfv.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimpnfv.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
xlimpnfv (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem xlimpnfv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xlimpnfv.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 xlimpnfv.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 xlimpnfv.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
54ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6 simplr 809 . . . 4 (((𝜑𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹~~>*+∞)
7 simpr 479 . . . 4 (((𝜑𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
82, 3, 5, 6, 7xlimpnfvlem1 40557 . . 3 (((𝜑𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
98ralrimiva 3096 . 2 ((𝜑𝐹~~>*+∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
10 nfv 1984 . . . 4 𝑘𝜑
11 nfcv 2894 . . . . 5 𝑘
12 nfcv 2894 . . . . . 6 𝑘𝑍
13 nfra1 3071 . . . . . 6 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)
1412, 13nfrex 3137 . . . . 5 𝑘𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)
1511, 14nfral 3075 . . . 4 𝑘𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)
1610, 15nfan 1969 . . 3 𝑘(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
17 nfv 1984 . . . 4 𝑗𝜑
18 nfcv 2894 . . . . 5 𝑗
19 nfre1 3135 . . . . 5 𝑗𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)
2018, 19nfral 3075 . . . 4 𝑗𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)
2117, 20nfan 1969 . . 3 𝑗(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
221adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) → 𝑀 ∈ ℤ)
234adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
24 nfv 1984 . . . . . 6 𝑗 𝑦 ∈ ℝ
2521, 24nfan 1969 . . . . 5 𝑗((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
26 simp-4r 827 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → 𝑦 ∈ ℝ)
27 rexr 10269 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
29 peano2re 10393 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
3029rexrd 10273 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ*)
3126, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ*)
3243ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
333uztrn2 11889 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
34333adant1 1124 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
3532, 34ffvelrnd 6515 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
3635ad5ant134 1463 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
3726ltp1d 11138 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
38 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘))
3928, 31, 36, 37, 38xrltletrd 12177 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → 𝑦 < (𝐹𝑘))
4039ex 449 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘) → 𝑦 < (𝐹𝑘)))
4140ralimdva 3092 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑦 < (𝐹𝑘)))
4241imp 444 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑦 < (𝐹𝑘))
4342adantl3r 803 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑦 < (𝐹𝑘))
44433impa 1100 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑦 < (𝐹𝑘))
4529adantl 473 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
46 simpl 474 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
47 breq1 4799 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ↔ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)))
4847ralbidv 3116 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)))
4948rexbidv 3182 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)))
5049rspcva 3439 . . . . . . 7 (((𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘))
5145, 46, 50syl2anc 696 . . . . . 6 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘))
5251adantll 752 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘))
5325, 44, 52reximdd 39835 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑦 < (𝐹𝑘))
5453ralrimiva 3096 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑦 < (𝐹𝑘))
5516, 21, 22, 3, 23, 54xlimpnfvlem2 40558 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) → 𝐹~~>*+∞)
569, 55impbida 913 1 (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wral 3042  wrex 3043   class class class wbr 4796  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  cr 10119  1c1 10121   + caddc 10123  +∞cpnf 10255  *cxr 10257   < clt 10258  cle 10259  cz 11561  cuz 11871  ~~>*clsxlim 40539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fi 8474  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-z 11562  df-uz 11872  df-ioo 12364  df-ioc 12365  df-ico 12366  df-icc 12367  df-topgen 16298  df-ordt 16355  df-ps 17393  df-tsr 17394  df-top 20893  df-topon 20910  df-bases 20944  df-lm 21227  df-xlim 40540
This theorem is referenced by:  xlimpnf  40563
  Copyright terms: Public domain W3C validator