Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimpnfmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimpnfmpt 40582
Description: A function converges to plus infinity if it eventually becomes (and stays) larger than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimpnfmpt.k 𝑘𝜑
xlimpnfmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimpnfmpt.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
xlimpnfmpt.f 𝐹 = (𝑘𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
xlimpnfmpt (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑗,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem xlimpnfmpt
Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xlimpnfmpt.f . . . 4 𝐹 = (𝑘𝑍𝐵)
2 nfmpt1 4879 . . . 4 𝑘(𝑘𝑍𝐵)
31, 2nfcxfr 2910 . . 3 𝑘𝐹
4 xlimpnfmpt.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 xlimpnfmpt.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 xlimpnfmpt.k . . . 4 𝑘𝜑
7 xlimpnfmpt.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
86, 7, 1fmptdf 6529 . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
93, 4, 5, 8xlimpnf 40580 . 2 (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑘)))
10 nfv 1994 . . . . . 6 𝑘 𝑖𝑍
116, 10nfan 1979 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑖𝑍)
125uztrn2 11905 . . . . . . . 8 ((𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑘𝑍)
1312adantll 685 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑘𝑍)
14 simpll 742 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝜑)
1514, 13, 7syl2anc 565 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
161fvmpt2 6433 . . . . . . 7 ((𝑘𝑍𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
1713, 15, 16syl2anc 565 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
1817breq2d 4796 . . . . 5 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (𝑦 ≤ (𝐹𝑘) ↔ 𝑦𝐵))
1911, 18ralbida 3130 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵))
2019rexbidva 3196 . . 3 (𝜑 → (∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵))
2120ralbidv 3134 . 2 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵))
22 breq1 4787 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐵𝑥𝐵))
2322rexralbidv 3205 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵))
24 fveq2 6332 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑗))
2524raleqdv 3292 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥𝐵))
2625cbvrexv 3320 . . . . 5 (∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥𝐵)
2723, 26syl6bb 276 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥𝐵))
2827cbvralv 3319 . . 3 (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥𝐵)
2928a1i 11 . 2 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥𝐵))
309, 21, 293bitrd 294 1 (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wnf 1855  wcel 2144  wral 3060  wrex 3061   class class class wbr 4784  cmpt 4861  cfv 6031  cr 10136  +∞cpnf 10272  *cxr 10274  cle 10276  cz 11578  cuz 11887  ~~>*clsxlim 40556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fi 8472  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-z 11579  df-uz 11888  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-topgen 16311  df-ordt 16368  df-ps 17407  df-tsr 17408  df-top 20918  df-topon 20935  df-bases 20970  df-lm 21253  df-xlim 40557
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator