Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimmnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimmnf 40579
Description: A function converges to minus infinity if it eventually becomes (and stays) smaller than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimmnf.k 𝑘𝐹
xlimmnf.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnf.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimmnf.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
xlimmnf (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑥   𝑗,𝑍,𝑥   𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem xlimmnf
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xlimmnf.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 xlimmnf.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 xlimmnf.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
41, 2, 3xlimmnfv 40572 . 2 (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦))
5 breq2 4788 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
65rexralbidv 3205 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
7 fveq2 6332 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑗))
87raleqdv 3292 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
9 xlimmnf.k . . . . . . . . 9 𝑘𝐹
10 nfcv 2912 . . . . . . . . 9 𝑘𝑙
119, 10nffv 6339 . . . . . . . 8 𝑘(𝐹𝑙)
12 nfcv 2912 . . . . . . . 8 𝑘
13 nfcv 2912 . . . . . . . 8 𝑘𝑥
1411, 12, 13nfbr 4831 . . . . . . 7 𝑘(𝐹𝑙) ≤ 𝑥
15 nfv 1994 . . . . . . 7 𝑙(𝐹𝑘) ≤ 𝑥
16 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑘 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑘))
1716breq1d 4794 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
1814, 15, 17cbvral 3315 . . . . . 6 (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)
198, 18syl6bb 276 . . . . 5 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
2019cbvrexv 3320 . . . 4 (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)
216, 20syl6bb 276 . . 3 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
2221cbvralv 3319 . 2 (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)
234, 22syl6bb 276 1 (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1630  wcel 2144  wnfc 2899  wral 3060  wrex 3061   class class class wbr 4784  wf 6027  cfv 6031  cr 10136  -∞cmnf 10273  *cxr 10274  cle 10276  cz 11578  cuz 11887  ~~>*clsxlim 40556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fi 8472  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-z 11579  df-uz 11888  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-topgen 16311  df-ordt 16368  df-ps 17407  df-tsr 17408  df-top 20918  df-topon 20935  df-bases 20970  df-lm 21253  df-xlim 40557
This theorem is referenced by:  xlimmnfmpt  40581  dfxlim2v  40585
  Copyright terms: Public domain W3C validator