Theorem xlimconst2 40583

Description: A sequence that eventually becomes constant, converges to its constant value (w.r.t. the standard topology on the extended reals). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimconst2.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
xlimconst2.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
xlimconst2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimconst2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimconst2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
xlimconst2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xlimconst2.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xlimconst2	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem xlimconst2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimconst2.p	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		xlimconst2.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
3		nfcv 2903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(ℤ≥‘𝑁)
4	2, 3	nfres 5554	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁))
5		xlimconst2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		xlimconst2.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
7	5, 6	eluzelz2d 40157	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		eqid 2761	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
9		xlimconst2.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
10	9	ffnd 6208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
11	5, 6	uzssd2 40161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍)
12	10, 11	fnssresd 40000	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) Fn (ℤ≥‘𝑁))
13		xlimconst2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
14		fvres 6370	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
15	14	adantl 473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
16		xlimconst2.e	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
17	15, 16	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁))‘𝑘) = 𝐴)
18	1, 4, 7, 8, 12, 13, 17	xlimconst 40573	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁))~~>*𝐴)
19	5, 9	fuzxrpmcn 40576	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
20	19, 7	xlimres 40569	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁))~~>*𝐴))
21	18, 20	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632  Ⅎwnf 1857   ∈ wcel 2140  Ⅎwnfc 2890   class class class wbr 4805   ↾ cres 5269  ⟶wf 6046  ‘cfv 6050  ℝ^*cxr 10286  ℤ_≥cuz 11900  ~~>*clsxlim 40566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-pm 8029  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fi 8485  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-neg 10482  df-z 11591  df-uz 11901  df-topgen 16327  df-ordt 16384  df-ps 17422  df-tsr 17423  df-top 20922  df-topon 20939  df-bases 20973  df-lm 21256  df-xlim 40567

This theorem is referenced by:  climxlim2lem  40593