Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimclim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimclim2 40578
Description: Given a sequence of extended reals, it converges to a real number 𝐴 w.r.t. the standard topology on the reals (see climreeq 40357), if and only if it converges to 𝐴 w.r.t. to the standard topology on the extended reals. In order for the first part of the statement to even make sense, the sequence will of course eventually become (and stay) real: showing this, is the key step of the proof. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimclim2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimclim2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimclim2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimclim2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
xlimclim2 (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴𝐹𝐴))

Proof of Theorem xlimclim2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 471 . . 3 ((𝜑𝐹~~>*𝐴) → 𝐹~~>*𝐴)
2 xlimclim2.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 xlimclim2.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
43adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐹~~>*𝐴) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
5 xlimclim2.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
65adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐹~~>*𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
7 xlimclim2.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
87adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝐹~~>*𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
98, 2, 4, 6, 1xlimxrre 40569 . . . 4 ((𝜑𝐹~~>*𝐴) → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
102, 4, 6, 9xlimclim2lem 40577 . . 3 ((𝜑𝐹~~>*𝐴) → (𝐹~~>*𝐴𝐹𝐴))
111, 10mpbid 222 . 2 ((𝜑𝐹~~>*𝐴) → 𝐹𝐴)
12 simpr 471 . . 3 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐹𝐴)
133adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
145adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
157adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
1615, 2, 13, 14, 12climxrre 40494 . . . 4 ((𝜑𝐹𝐴) → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
172, 13, 14, 16xlimclim2lem 40577 . . 3 ((𝜑𝐹𝐴) → (𝐹~~>*𝐴𝐹𝐴))
1812, 17mpbird 247 . 2 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐹~~>*𝐴)
1911, 18impbida 794 1 (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144   class class class wbr 4784  wf 6027  cfv 6031  cr 10136  *cxr 10274  cz 11578  cuz 11887  cli 14422  ~~>*clsxlim 40556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-rest 16290  df-topn 16291  df-topgen 16311  df-ordt 16368  df-ps 17407  df-tsr 17408  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-lm 21253  df-xms 22344  df-ms 22345  df-xlim 40557
This theorem is referenced by:  climxlim2lem  40583  dfxlim2v  40585
  Copyright terms: Public domain W3C validator