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Theorem xlemul1a 12332
Description: Extended real version of lemul1a 11090. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlemul1a (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))

Proof of Theorem xlemul1a
StepHypRef Expression
1 0xr 10299 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
2 simpr 479 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
3 xrleloe 12191 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐶 ↔ (0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶)))
41, 2, 3sylancr 698 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐶 ↔ (0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶)))
5 simpllr 817 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
6 elxr 12164 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ ℝ* ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
75, 6sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
8 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐴𝐵)
9 simprll 821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 simprlr 822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
12 simplrl 819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 0 < 𝐶)
13 lemul1 11088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
149, 10, 11, 12, 13syl112anc 1481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
158, 14mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))
16 rexmul 12315 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
179, 11, 16syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
18 rexmul 12315 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
1910, 11, 18syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
2015, 17, 193brtr4d 4837 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
2120expr 644 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 ∈ ℝ → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
22 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
23 0re 10253 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
24 lttri4 10335 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 ∨ 𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴))
2522, 23, 24sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 0 ∨ 𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴))
26 simplll 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2726adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28 xmulpnf1n 12322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) = -∞)
2927, 28sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) = -∞)
30 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3130adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3231adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
33 pnfxr 10305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +∞ ∈ ℝ*
34 xmulcl 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e +∞) ∈ ℝ*)
3532, 33, 34sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐵 ·e +∞) ∈ ℝ*)
36 mnfle 12183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ·e +∞) ∈ ℝ* → -∞ ≤ (𝐵 ·e +∞))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 < 0) → -∞ ≤ (𝐵 ·e +∞))
3829, 37eqbrtrd 4827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐵 ·e +∞))
3938ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 0 → (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐵 ·e +∞)))
40 oveq1 6822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 = 0 → (𝐴 ·e +∞) = (0 ·e +∞))
41 xmul02 12312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (+∞ ∈ ℝ* → (0 ·e +∞) = 0)
4233, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ·e +∞) = 0
4340, 42syl6eq 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 = 0 → (𝐴 ·e +∞) = 0)
4443adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 ·e +∞) = 0)
45 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 𝐴𝐵)
46 breq1 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 = 0 → (𝐴𝐵 ↔ 0 ≤ 𝐵))
4745, 46syl5ibcom 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 = 0 → 0 ≤ 𝐵))
48 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
49 leloe 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
5023, 48, 49sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
5147, 50sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 = 0 → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
5251imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = 0) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
53 pnfge 12178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 ∈ ℝ* → 0 ≤ +∞)
541, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ≤ +∞
55 xmulpnf1 12318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ·e +∞) = +∞)
5631, 55sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ·e +∞) = +∞)
5754, 56syl5breqr 4843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐵 ·e +∞))
58 xrleid 12197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 ∈ ℝ* → 0 ≤ 0)
591, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ≤ 0
6059, 42breqtrri 4832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ≤ (0 ·e +∞)
61 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 0 = 𝐵) → 0 = 𝐵)
6261oveq1d 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 0 = 𝐵) → (0 ·e +∞) = (𝐵 ·e +∞))
6360, 62syl5breq 4842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 0 = 𝐵) → 0 ≤ (𝐵 ·e +∞))
6457, 63jaodan 861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)) → 0 ≤ (𝐵 ·e +∞))
6552, 64syldan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = 0) → 0 ≤ (𝐵 ·e +∞))
6644, 65eqbrtrd 4827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐵 ·e +∞))
6766ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 = 0 → (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐵 ·e +∞)))
68 pnfge 12178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
6933, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +∞ ≤ +∞
7026adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
71 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 < 𝐴)
72 xmulpnf1 12318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
7370, 71, 72syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
7430adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
75 ltletr 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴𝐴𝐵) → 0 < 𝐵))
7623, 75mp3an1 1560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴𝐴𝐵) → 0 < 𝐵))
7776adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((0 < 𝐴𝐴𝐵) → 0 < 𝐵))
7845, 77mpan2d 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (0 < 𝐴 → 0 < 𝐵))
7978impr 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 < 𝐵)
8074, 79, 55syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐵 ·e +∞) = +∞)
8173, 80breq12d 4818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐵 ·e +∞) ↔ +∞ ≤ +∞))
8269, 81mpbiri 248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐵 ·e +∞))
8382expr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (0 < 𝐴 → (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐵 ·e +∞)))
8439, 67, 833jaod 1541 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((𝐴 < 0 ∨ 𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐵 ·e +∞)))
8525, 84mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐵 ·e +∞))
86 oveq2 6823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐴 ·e +∞))
87 oveq2 6823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶 = +∞ → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐵 ·e +∞))
8886, 87breq12d 4818 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 = +∞ → ((𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶) ↔ (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐵 ·e +∞)))
8985, 88syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
90 nltmnf 12177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ℝ* → ¬ 0 < -∞)
911, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ 0 < -∞
92 breq2 4809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶 = -∞ → (0 < 𝐶 ↔ 0 < -∞))
9391, 92mtbiri 316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 = -∞ → ¬ 0 < 𝐶)
9493con2i 134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 < 𝐶 → ¬ 𝐶 = -∞)
9594ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) → ¬ 𝐶 = -∞)
9695adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ¬ 𝐶 = -∞)
9796pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 = -∞ → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
9821, 89, 973jaod 1541 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
997, 98mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
10099anassrs 683 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
101 xmulcl 12317 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
102101adantlr 753 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
103102ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
104 pnfge 12178 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ +∞)
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ +∞)
106 oveq1 6822 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = +∞ → (𝐵 ·e 𝐶) = (+∞ ·e 𝐶))
107 xmulpnf2 12319 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶) → (+∞ ·e 𝐶) = +∞)
108107ad2ant2lr 801 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) → (+∞ ·e 𝐶) = +∞)
109106, 108sylan9eqr 2817 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 ·e 𝐶) = +∞)
110105, 109breqtrrd 4833 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
111110adantlr 753 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
112 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴𝐵)
113 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
11426adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
115 mnfle 12183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
116114, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ ≤ 𝐴)
117113, 116eqbrtrd 4827 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵𝐴)
118 xrletri3 12199 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
119118ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
120112, 117, 119mpbir2and 995 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 = 𝐵)
121120oveq1d 6830 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐵 ·e 𝐶))
122 xmulcl 12317 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
123122adantll 752 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
124123ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
125 xrleid 12197 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ* → (𝐵 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
126124, 125syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
127121, 126eqbrtrd 4827 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
128127adantlr 753 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
129 elxr 12164 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
13030, 129sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
131130adantr 472 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
132100, 111, 128, 131mpjao3dan 1544 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
133 simplrr 820 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴𝐵)
13430adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
135 pnfge 12178 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ≤ +∞)
137 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
138136, 137breqtrrd 4833 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵𝐴)
139118ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
140133, 138, 139mpbir2and 995 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = 𝐵)
141140oveq1d 6830 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐵 ·e 𝐶))
142123, 125syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
143142ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
144141, 143eqbrtrd 4827 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
145 oveq1 6822 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ·e 𝐶) = (-∞ ·e 𝐶))
146 xmulmnf2 12321 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶) → (-∞ ·e 𝐶) = -∞)
147146ad2ant2lr 801 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) → (-∞ ·e 𝐶) = -∞)
148145, 147sylan9eqr 2817 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ·e 𝐶) = -∞)
149123ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
150 mnfle 12183 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ* → -∞ ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
151149, 150syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
152148, 151eqbrtrd 4827 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
153 elxr 12164 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
15426, 153sylib 208 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
155132, 144, 152, 154mpjao3dan 1544 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
156155exp32 632 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (0 < 𝐶 → (𝐴𝐵 → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))))
157 xmul01 12311 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = 0)
158157ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 0) = 0)
159 xmul01 12311 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ·e 0) = 0)
160159ad2antlr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 0) = 0)
161158, 160breq12d 4818 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e 0) ≤ (𝐵 ·e 0) ↔ 0 ≤ 0))
16259, 161mpbiri 248 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 0) ≤ (𝐵 ·e 0))
163 oveq2 6823 . . . . . . . . 9 (0 = 𝐶 → (𝐴 ·e 0) = (𝐴 ·e 𝐶))
164 oveq2 6823 . . . . . . . . 9 (0 = 𝐶 → (𝐵 ·e 0) = (𝐵 ·e 𝐶))
165163, 164breq12d 4818 . . . . . . . 8 (0 = 𝐶 → ((𝐴 ·e 0) ≤ (𝐵 ·e 0) ↔ (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
166162, 165syl5ibcom 235 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (0 = 𝐶 → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
167166a1dd 50 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (0 = 𝐶 → (𝐴𝐵 → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))))
168156, 167jaod 394 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶) → (𝐴𝐵 → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))))
1694, 168sylbid 230 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐶 → (𝐴𝐵 → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))))
170169expimpd 630 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶) → (𝐴𝐵 → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))))
1711703impia 1110 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴𝐵 → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
172171imp 444 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3o 1071  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140   class class class wbr 4805  (class class class)co 6815  cr 10148  0cc0 10149   · cmul 10154  +∞cpnf 10284  -∞cmnf 10285  *cxr 10286   < clt 10287  cle 10288   ·e cxmu 12159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-xneg 12160  df-xmul 12162
This theorem is referenced by:  xlemul2a  12333  xlemul1  12334  nmoi2  22756  esumcst  30456
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