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Theorem xlemul1a 12077
Description: Extended real version of lemul1a 10837. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlemul1a (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))

Proof of Theorem xlemul1a
StepHypRef Expression
1 0xr 10046 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
2 simpr 477 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
3 xrleloe 11937 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐶 ↔ (0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶)))
41, 2, 3sylancr 694 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐶 ↔ (0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶)))
5 simpllr 798 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
6 elxr 11910 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ ℝ* ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
75, 6sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
8 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐴𝐵)
9 simprll 801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 simprlr 802 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
12 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 0 < 𝐶)
13 lemul1 10835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
149, 10, 11, 12, 13syl112anc 1327 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
158, 14mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))
16 rexmul 12060 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
179, 11, 16syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
18 rexmul 12060 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
1910, 11, 18syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
2015, 17, 193brtr4d 4655 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
2120expr 642 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 ∈ ℝ → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
22 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
23 0re 10000 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
24 lttri4 10082 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 ∨ 𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴))
2522, 23, 24sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 0 ∨ 𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴))
26 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28 xmulpnf1n 12067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) = -∞)
2927, 28sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) = -∞)
30 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
33 pnfxr 10052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +∞ ∈ ℝ*
34 xmulcl 12062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e +∞) ∈ ℝ*)
3532, 33, 34sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐵 ·e +∞) ∈ ℝ*)
36 mnfle 11929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ·e +∞) ∈ ℝ* → -∞ ≤ (𝐵 ·e +∞))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 < 0) → -∞ ≤ (𝐵 ·e +∞))
3829, 37eqbrtrd 4645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐵 ·e +∞))
3938ex 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 0 → (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐵 ·e +∞)))
40 oveq1 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 = 0 → (𝐴 ·e +∞) = (0 ·e +∞))
41 xmul02 12057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (+∞ ∈ ℝ* → (0 ·e +∞) = 0)
4233, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ·e +∞) = 0
4340, 42syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 = 0 → (𝐴 ·e +∞) = 0)
4443adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 ·e +∞) = 0)
45 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 𝐴𝐵)
46 breq1 4626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 = 0 → (𝐴𝐵 ↔ 0 ≤ 𝐵))
4745, 46syl5ibcom 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 = 0 → 0 ≤ 𝐵))
48 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
49 leloe 10084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
5023, 48, 49sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
5147, 50sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 = 0 → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
5251imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = 0) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
53 pnfge 11924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 ∈ ℝ* → 0 ≤ +∞)
541, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ≤ +∞
55 xmulpnf1 12063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ·e +∞) = +∞)
5631, 55sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ·e +∞) = +∞)
5754, 56syl5breqr 4661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐵 ·e +∞))
58 xrleid 11943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 ∈ ℝ* → 0 ≤ 0)
591, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ≤ 0
6059, 42breqtrri 4650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ≤ (0 ·e +∞)
61 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 0 = 𝐵) → 0 = 𝐵)
6261oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 0 = 𝐵) → (0 ·e +∞) = (𝐵 ·e +∞))
6360, 62syl5breq 4660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 0 = 𝐵) → 0 ≤ (𝐵 ·e +∞))
6457, 63jaodan 825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)) → 0 ≤ (𝐵 ·e +∞))
6552, 64syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = 0) → 0 ≤ (𝐵 ·e +∞))
6644, 65eqbrtrd 4645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐵 ·e +∞))
6766ex 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 = 0 → (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐵 ·e +∞)))
68 pnfge 11924 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
6933, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +∞ ≤ +∞
7026adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
71 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 < 𝐴)
72 xmulpnf1 12063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
7370, 71, 72syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
7430adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
75 ltletr 10089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴𝐴𝐵) → 0 < 𝐵))
7623, 75mp3an1 1408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴𝐴𝐵) → 0 < 𝐵))
7776adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((0 < 𝐴𝐴𝐵) → 0 < 𝐵))
7845, 77mpan2d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (0 < 𝐴 → 0 < 𝐵))
7978impr 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 < 𝐵)
8074, 79, 55syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐵 ·e +∞) = +∞)
8173, 80breq12d 4636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐵 ·e +∞) ↔ +∞ ≤ +∞))
8269, 81mpbiri 248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐵 ·e +∞))
8382expr 642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (0 < 𝐴 → (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐵 ·e +∞)))
8439, 67, 833jaod 1389 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((𝐴 < 0 ∨ 𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐵 ·e +∞)))
8525, 84mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐵 ·e +∞))
86 oveq2 6623 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐴 ·e +∞))
87 oveq2 6623 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶 = +∞ → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐵 ·e +∞))
8886, 87breq12d 4636 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 = +∞ → ((𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶) ↔ (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐵 ·e +∞)))
8985, 88syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
90 nltmnf 11923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ℝ* → ¬ 0 < -∞)
911, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ 0 < -∞
92 breq2 4627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶 = -∞ → (0 < 𝐶 ↔ 0 < -∞))
9391, 92mtbiri 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 = -∞ → ¬ 0 < 𝐶)
9493con2i 134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 < 𝐶 → ¬ 𝐶 = -∞)
9594ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) → ¬ 𝐶 = -∞)
9695adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ¬ 𝐶 = -∞)
9796pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 = -∞ → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
9821, 89, 973jaod 1389 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
997, 98mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
10099anassrs 679 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
101 xmulcl 12062 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
102101adantlr 750 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
103102ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
104 pnfge 11924 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ +∞)
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ +∞)
106 oveq1 6622 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = +∞ → (𝐵 ·e 𝐶) = (+∞ ·e 𝐶))
107 xmulpnf2 12064 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶) → (+∞ ·e 𝐶) = +∞)
108107ad2ant2lr 783 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) → (+∞ ·e 𝐶) = +∞)
109106, 108sylan9eqr 2677 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 ·e 𝐶) = +∞)
110105, 109breqtrrd 4651 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
111110adantlr 750 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
112 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴𝐵)
113 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
11426adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
115 mnfle 11929 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
116114, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ ≤ 𝐴)
117113, 116eqbrtrd 4645 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵𝐴)
118 xrletri3 11945 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
119118ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
120112, 117, 119mpbir2and 956 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 = 𝐵)
121120oveq1d 6630 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐵 ·e 𝐶))
122 xmulcl 12062 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
123122adantll 749 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
124123ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
125 xrleid 11943 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ* → (𝐵 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
126124, 125syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
127121, 126eqbrtrd 4645 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
128127adantlr 750 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
129 elxr 11910 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
13030, 129sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
131130adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
132100, 111, 128, 131mpjao3dan 1392 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
133 simplrr 800 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴𝐵)
13430adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
135 pnfge 11924 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ≤ +∞)
137 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
138136, 137breqtrrd 4651 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵𝐴)
139118ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
140133, 138, 139mpbir2and 956 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = 𝐵)
141140oveq1d 6630 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐵 ·e 𝐶))
142123, 125syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
143142ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
144141, 143eqbrtrd 4645 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
145 oveq1 6622 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ·e 𝐶) = (-∞ ·e 𝐶))
146 xmulmnf2 12066 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶) → (-∞ ·e 𝐶) = -∞)
147146ad2ant2lr 783 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) → (-∞ ·e 𝐶) = -∞)
148145, 147sylan9eqr 2677 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ·e 𝐶) = -∞)
149123ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
150 mnfle 11929 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ* → -∞ ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
151149, 150syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
152148, 151eqbrtrd 4645 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
153 elxr 11910 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
15426, 153sylib 208 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
155132, 144, 152, 154mpjao3dan 1392 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐶𝐴𝐵)) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
156155exp32 630 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (0 < 𝐶 → (𝐴𝐵 → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))))
157 xmul01 12056 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = 0)
158157ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 0) = 0)
159 xmul01 12056 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ·e 0) = 0)
160159ad2antlr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 0) = 0)
161158, 160breq12d 4636 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e 0) ≤ (𝐵 ·e 0) ↔ 0 ≤ 0))
16259, 161mpbiri 248 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 0) ≤ (𝐵 ·e 0))
163 oveq2 6623 . . . . . . . . 9 (0 = 𝐶 → (𝐴 ·e 0) = (𝐴 ·e 𝐶))
164 oveq2 6623 . . . . . . . . 9 (0 = 𝐶 → (𝐵 ·e 0) = (𝐵 ·e 𝐶))
165163, 164breq12d 4636 . . . . . . . 8 (0 = 𝐶 → ((𝐴 ·e 0) ≤ (𝐵 ·e 0) ↔ (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
166162, 165syl5ibcom 235 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (0 = 𝐶 → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
167166a1dd 50 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (0 = 𝐶 → (𝐴𝐵 → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))))
168156, 167jaod 395 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶) → (𝐴𝐵 → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))))
1694, 168sylbid 230 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐶 → (𝐴𝐵 → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))))
170169expimpd 628 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶) → (𝐴𝐵 → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))))
1711703impia 1258 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴𝐵 → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
172171imp 445 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3o 1035  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  cr 9895  0cc0 9896   · cmul 9901  +∞cpnf 10031  -∞cmnf 10032  *cxr 10033   < clt 10034  cle 10035   ·e cxmu 11905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-xneg 11906  df-xmul 11908
This theorem is referenced by:  xlemul2a  12078  xlemul1  12079  nmoi2  22474  esumcst  29948
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