MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkotopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xkotopon 21576
Description: The base set of the compact-open topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkouni.1 𝐽 = (𝑆 ^ko 𝑅)
Assertion
Ref Expression
xkotopon ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑅 Cn 𝑆)))

Proof of Theorem xkotopon
StepHypRef Expression
1 xkouni.1 . . 3 𝐽 = (𝑆 ^ko 𝑅)
2 xkotop 21564 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑆 ^ko 𝑅) ∈ Top)
31, 2syl5eqel 2831 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → 𝐽 ∈ Top)
41xkouni 21575 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 Cn 𝑆) = 𝐽)
5 istopon 20890 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑅 Cn 𝑆)) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑅 Cn 𝑆) = 𝐽))
63, 4, 5sylanbrc 701 1 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑅 Cn 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127   cuni 4576  cfv 6037  (class class class)co 6801  Topctop 20871  TopOnctopon 20888   Cn ccn 21201   ^ko cxko 21537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-en 8110  df-fin 8113  df-fi 8470  df-rest 16256  df-topgen 16277  df-top 20872  df-topon 20889  df-bases 20923  df-cmp 21363  df-xko 21539
This theorem is referenced by:  xkoccn  21595  xkopjcn  21632  xkoco1cn  21633  xkoco2cn  21634  xkococn  21636  cnmptkp  21656  cnmptk1  21657  cnmpt1k  21658  cnmptkk  21659  xkofvcn  21660  cnmptk1p  21661  cnmptk2  21662  xkoinjcn  21663  xkocnv  21790  xkohmeo  21791  symgtgp  22077
  Copyright terms: Public domain W3C validator