Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xihopellsmN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xihopellsmN 37064
Description: Ordered pair membership in a subspace sum of isomorphism H values. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
xihopellsm.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
xihopellsm.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
xihopellsm.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
xihopellsm.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
xihopellsm.a 𝐴 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
xihopellsm.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
xihopellsm.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑈)
xihopellsm.p = (LSSum‘𝑈)
xihopellsm.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
xihopellsm.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
xihopellsm.x (𝜑𝑋𝐵)
xihopellsm.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
xihopellsmN (𝜑 → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌)) ↔ ∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢)))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑔,,𝑡,𝑢,𝐹   𝑓,𝑔,𝑡,𝐻   𝑔,𝐼,,𝑡,𝑢   𝑓,𝑠,𝐾,𝑔,𝑡   𝑆,𝑔,,𝑡,𝑢   𝑈,𝑔,,𝑡,𝑢   𝑓,𝑊,𝑔,𝑠,𝑡   𝑔,𝑋,,𝑡,𝑢   𝑔,𝑌,,𝑡,𝑢   𝜑,𝑔,,𝑡,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑠)   𝐴(𝑢,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑠)   𝐵(𝑢,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑠)   (𝑢,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑠)   𝑆(𝑓,𝑠)   𝑇(𝑢,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑠)   𝑈(𝑓,𝑠)   𝐸(𝑢,𝑓,𝑔,)   𝐹(𝑓,𝑠)   𝐻(𝑢,,𝑠)   𝐼(𝑓,𝑠)   𝐾(𝑢,)   𝐿(𝑢,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑠)   𝑊(𝑢,)   𝑋(𝑓,𝑠)   𝑌(𝑓,𝑠)

Proof of Theorem xihopellsmN
StepHypRef Expression
1 xihopellsm.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 xihopellsm.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
3 xihopellsm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 xihopellsm.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 xihopellsm.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6 xihopellsm.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2771 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
83, 4, 5, 6, 7dihlss 37060 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
91, 2, 8syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
10 xihopellsm.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
113, 4, 5, 6, 7dihlss 37060 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌𝐵) → (𝐼𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑈))
121, 10, 11syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑈))
13 eqid 2771 . . . 4 (+g𝑈) = (+g𝑈)
14 xihopellsm.p . . . 4 = (LSSum‘𝑈)
154, 6, 13, 7, 14dvhopellsm 36927 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐼𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝐼𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌)) ↔ ∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ ⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩))))
161, 9, 12, 15syl3anc 1476 . 2 (𝜑 → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌)) ↔ ∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ ⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩))))
17 xihopellsm.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
18 xihopellsm.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
191adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
202adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋)) → 𝑋𝐵)
21 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋)) → ⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋))
223, 4, 17, 18, 5, 19, 20, 21dihopcl 37063 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋)) → (𝑔𝑇𝑡𝐸))
231adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2410adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) → 𝑌𝐵)
25 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) → ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌))
263, 4, 17, 18, 5, 23, 24, 25dihopcl 37063 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) → (𝑇𝑢𝐸))
2722, 26anim12dan 605 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌))) → ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸)))
281adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
29 simprl 754 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (𝑔𝑇𝑡𝐸))
30 simprr 756 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (𝑇𝑢𝐸))
31 xihopellsm.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
324, 17, 18, 31, 6, 13dvhopvadd2 36904 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸)) → (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩) = ⟨(𝑔), (𝑡𝐴𝑢)⟩)
3328, 29, 30, 32syl3anc 1476 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩) = ⟨(𝑔), (𝑡𝐴𝑢)⟩)
3433eqeq2d 2781 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩) ↔ ⟨𝐹, 𝑆⟩ = ⟨(𝑔), (𝑡𝐴𝑢)⟩))
35 vex 3354 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
36 vex 3354 . . . . . . . 8 ∈ V
3735, 36coex 7269 . . . . . . 7 (𝑔) ∈ V
38 ovex 6827 . . . . . . 7 (𝑡𝐴𝑢) ∈ V
3937, 38opth2 5077 . . . . . 6 (⟨𝐹, 𝑆⟩ = ⟨(𝑔), (𝑡𝐴𝑢)⟩ ↔ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢)))
4034, 39syl6bb 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩) ↔ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢))))
4127, 40syldan 579 . . . 4 ((𝜑 ∧ (⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌))) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩) ↔ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢))))
4241pm5.32da 568 . . 3 (𝜑 → (((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ ⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩)) ↔ ((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢)))))
43424exbidv 2006 . 2 (𝜑 → (∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ ⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩)) ↔ ∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢)))))
4416, 43bitrd 268 1 (𝜑 → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌)) ↔ ∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  cop 4323  cmpt 4864  ccom 5254  cfv 6030  (class class class)co 6796  cmpt2 6798  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  LSSumclsm 18256  LSubSpclss 19142  HLchlt 35159  LHypclh 35793  LTrncltrn 35910  TEndoctendo 36562  DVecHcdvh 36888  DIsoHcdih 37038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-undef 7555  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-0g 16310  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35307  df-lplanes 35308  df-lvols 35309  df-lines 35310  df-psubsp 35312  df-pmap 35313  df-padd 35605  df-lhyp 35797  df-laut 35798  df-ldil 35913  df-ltrn 35914  df-trl 35969  df-tendo 36565  df-edring 36567  df-disoa 36839  df-dvech 36889  df-dib 36949  df-dic 36983  df-dih 37039
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator