Theorem xdivcld 29962

Description: Closure law for the extended division. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xdivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xdivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
xdivcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
xdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xdivcld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xdivcld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xdivcld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		xdivcld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		xdivval 29958	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1477	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
6		xreceu 29961	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1477	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)
8		riotacl 6790	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴) ∈ ℝ*)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴) ∈ ℝ*)
10	5, 9	eqeltrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ≠ wne 2933  ∃!wreu 3053  ℩crio 6775  (class class class)co 6815  ℝcr 10148  0cc0 10149  ℝ^*cxr 10286   ·_e cxmu 12159   /_𝑒 cxdiv 29956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-xneg 12160  df-xmul 12162  df-xdiv 29957

This theorem is referenced by:  xdivcl  29963  xdivrec  29966