MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xblpnfps Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xblpnfps 22419
Description: The infinity ball in an extended metric is the set of all points that are a finite distance from the center. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
xblpnfps ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ)))

Proof of Theorem xblpnfps
StepHypRef Expression
1 pnfxr 10293 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
2 elblps 22411 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋 ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
31, 2mp3an3 1560 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
4 psmetcl 22331 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ*)
5 psmetge0 22336 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝐴))
6 ge0nemnf 12208 . . . . . . . 8 (((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝐴)) → (𝑃𝐷𝐴) ≠ -∞)
74, 5, 6syl2anc 565 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → (𝑃𝐷𝐴) ≠ -∞)
8 ngtmnft 12201 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ* → ((𝑃𝐷𝐴) = -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝑃𝐷𝐴)))
94, 8syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → ((𝑃𝐷𝐴) = -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝑃𝐷𝐴)))
109necon2abid 2984 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → (-∞ < (𝑃𝐷𝐴) ↔ (𝑃𝐷𝐴) ≠ -∞))
117, 10mpbird 247 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → -∞ < (𝑃𝐷𝐴))
1211biantrurd 516 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → ((𝑃𝐷𝐴) < +∞ ↔ (-∞ < (𝑃𝐷𝐴) ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
13 xrrebnd 12203 . . . . . 6 ((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ* → ((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (𝑃𝐷𝐴) ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
144, 13syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → ((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (𝑃𝐷𝐴) ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
1512, 14bitr4d 271 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → ((𝑃𝐷𝐴) < +∞ ↔ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ))
16153expa 1110 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑃𝐷𝐴) < +∞ ↔ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ))
1716pm5.32da 560 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → ((𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ)))
183, 17bitrd 268 1 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  cr 10136  0cc0 10137  +∞cpnf 10272  -∞cmnf 10273  *cxr 10274   < clt 10275  cle 10276  PsMetcpsmet 19944  ballcbl 19947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-2 11280  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-psmet 19952  df-bl 19955
This theorem is referenced by:  xblss2ps  22425
  Copyright terms: Public domain W3C validator