MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xaddnepnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xaddnepnf 12272
Description: Closure of extended real addition in the subset * / {+∞}. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddnepnf (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)

Proof of Theorem xaddnepnf
StepHypRef Expression
1 xrnepnf 12156 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞))
2 xrnepnf 12156 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
3 rexadd 12267 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4 readdcl 10220 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
53, 4eqeltrd 2849 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ)
65renepnfd 10291 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
7 oveq2 6800 . . . . . . 7 (𝐵 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 -∞))
8 rexr 10286 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
9 renepnf 10288 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
10 xaddmnf1 12263 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
118, 9, 10syl2anc 565 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
127, 11sylan9eqr 2826 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
13 mnfnepnf 10296 . . . . . . 7 -∞ ≠ +∞
1413a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ ≠ +∞)
1512, 14eqnetrd 3009 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
166, 15jaodan 938 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
172, 16sylan2b 573 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
18 oveq1 6799 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
19 xaddmnf2 12264 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
2018, 19sylan9eq 2824 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
2113a1i 11 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞)) → -∞ ≠ +∞)
2220, 21eqnetrd 3009 . . 3 ((𝐴 = -∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
2317, 22jaoian 937 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
241, 23sylanb 562 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wo 826   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  (class class class)co 6792  cr 10136   + caddc 10140  +∞cpnf 10272  -∞cmnf 10273  *cxr 10274   +𝑒 cxad 12148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-i2m1 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-xadd 12151
This theorem is referenced by:  xlt2add  12294
  Copyright terms: Public domain W3C validator