MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xaddid1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xaddid1 12277
Description: Extended real version of addid1 10422. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddid1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)

Proof of Theorem xaddid1
StepHypRef Expression
1 elxr 12155 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 0re 10246 . . . . 5 0 ∈ ℝ
3 rexadd 12268 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 0) = (𝐴 + 0))
42, 3mpan2 671 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 0) = (𝐴 + 0))
5 recn 10232 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
65addid1d 10442 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
74, 6eqtrd 2805 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
8 0xr 10292 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
9 renemnf 10294 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
102, 9ax-mp 5 . . . . 5 0 ≠ -∞
11 xaddpnf2 12263 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 0) = +∞)
128, 10, 11mp2an 672 . . . 4 (+∞ +𝑒 0) = +∞
13 oveq1 6803 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 0) = (+∞ +𝑒 0))
14 id 22 . . . 4 (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
1512, 13, 143eqtr4a 2831 . . 3 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
16 renepnf 10293 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
172, 16ax-mp 5 . . . . 5 0 ≠ +∞
18 xaddmnf2 12265 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 0) = -∞)
198, 17, 18mp2an 672 . . . 4 (-∞ +𝑒 0) = -∞
20 oveq1 6803 . . . 4 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 0) = (-∞ +𝑒 0))
21 id 22 . . . 4 (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
2219, 20, 213eqtr4a 2831 . . 3 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
237, 15, 223jaoi 1539 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
241, 23sylbi 207 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3o 1070   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  (class class class)co 6796  cr 10141  0cc0 10142   + caddc 10145  +∞cpnf 10277  -∞cmnf 10278  *cxr 10279   +𝑒 cxad 12149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-xadd 12152
This theorem is referenced by:  xaddid2  12278  xaddid1d  12279  xnn0xadd0  12282  xpncan  12286  xadddi  12330  xadddi2  12332  xrsnsgrp  19997  xrs1mnd  19999  xrs10  20000  psmetsym  22335  xmetsym  22372  imasdsf1olem  22398  stdbdxmet  22540  xrge0gsumle  22856  metdsle  22875  metnrmlem1  22882  vtxdlfgrval  26616  vtxdginducedm1  26674  xraddge02  29861  xlt2addrd  29863  xrs0  30015  xrge0addgt0  30031  xrge0npcan  30034  metideq  30276  metider  30277  esumpad  30457  esumpr2  30469  esumpfinvallem  30476  esumpmono  30481  ddemeas  30639  aean  30647  baselcarsg  30708  carsgclctunlem2  30721  xadd0ge  40049  sge0tsms  41111  sge0ss  41143
  Copyright terms: Public domain W3C validator