MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xaddcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xaddcld 12324
Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
xnegcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xaddcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
xaddcld (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcld
StepHypRef Expression
1 xnegcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 xaddcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3 xaddcl 12263 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
41, 2, 3syl2anc 696 1 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  (class class class)co 6813  *cxr 10265   +𝑒 cxad 12137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-xadd 12140
This theorem is referenced by:  xadd4d  12326  imasdsf1olem  22379  bldisj  22404  xblss2ps  22407  xblss2  22408  blcld  22511  comet  22519  stdbdxmet  22521  metdstri  22855  metdscnlem  22859  iscau3  23276  xlt2addrd  29832  xrge0addcld  29836  xrge0subcld  29837  xrofsup  29842  xrsmulgzz  29987  xrge0adddir  30001  xrge0adddi  30002  esumle  30429  esumlef  30433  omssubadd  30671  inelcarsg  30682  carsgclctunlem2  30690  carsgclctunlem3  30691  carsgclctun  30692  xle2addd  40050  infrpge  40065  xrlexaddrp  40066  infleinflem1  40084  infleinflem2  40085  limsupgtlem  40512  ismbl3  40706  ismbl4  40713  sge0prle  41121  sge0split  41129  sge0iunmptlemre  41135  sge0xaddlem1  41153  omeunle  41236  carageniuncl  41243  ovnsubaddlem1  41290  hspmbl  41349  ovolval5lem1  41372
  Copyright terms: Public domain W3C validator