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Theorem xaddass2 12194
Description: Associativity of extended real addition. See xaddass 12193 for notes on the hypotheses. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddass2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))

Proof of Theorem xaddass2
StepHypRef Expression
1 simp1l 1216 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 xnegcl 12158 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
31, 2syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
4 simp1r 1217 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → 𝐴 ≠ +∞)
5 pnfxr 10205 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
6 xneg11 12160 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 = -𝑒+∞ ↔ 𝐴 = +∞))
71, 5, 6sylancl 697 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐴 = -𝑒+∞ ↔ 𝐴 = +∞))
87necon3bid 2940 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐴 ≠ -𝑒+∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
94, 8mpbird 247 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐴 ≠ -𝑒+∞)
10 xnegpnf 12154 . . . . . . 7 -𝑒+∞ = -∞
1110a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒+∞ = -∞)
129, 11neeqtrd 2965 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐴 ≠ -∞)
13 simp2l 1218 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14 xnegcl 12158 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
16 simp2r 1219 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → 𝐵 ≠ +∞)
17 xneg11 12160 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 = -𝑒+∞ ↔ 𝐵 = +∞))
1813, 5, 17sylancl 697 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐵 = -𝑒+∞ ↔ 𝐵 = +∞))
1918necon3bid 2940 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐵 ≠ -𝑒+∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
2016, 19mpbird 247 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐵 ≠ -𝑒+∞)
2120, 11neeqtrd 2965 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐵 ≠ -∞)
22 simp3l 1220 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
23 xnegcl 12158 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ* → -𝑒𝐶 ∈ ℝ*)
2422, 23syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐶 ∈ ℝ*)
25 simp3r 1221 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → 𝐶 ≠ +∞)
26 xneg11 12160 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐶 = -𝑒+∞ ↔ 𝐶 = +∞))
2722, 5, 26sylancl 697 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐶 = -𝑒+∞ ↔ 𝐶 = +∞))
2827necon3bid 2940 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐶 ≠ -𝑒+∞ ↔ 𝐶 ≠ +∞))
2925, 28mpbird 247 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐶 ≠ -𝑒+∞)
3029, 11neeqtrd 2965 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐶 ≠ -∞)
31 xaddass 12193 . . . . 5 (((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ≠ -∞) ∧ (-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ≠ -∞) ∧ (-𝑒𝐶 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐶 ≠ -∞)) → ((-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶) = (-𝑒𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 -𝑒𝐶)))
323, 12, 15, 21, 24, 30, 31syl222anc 1455 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → ((-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶) = (-𝑒𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 -𝑒𝐶)))
33 xnegdi 12192 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
341, 13, 33syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
3534oveq1d 6780 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶) = ((-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶))
36 xnegdi 12192 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐵 +𝑒 𝐶) = (-𝑒𝐵 +𝑒 -𝑒𝐶))
3713, 22, 36syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒(𝐵 +𝑒 𝐶) = (-𝑒𝐵 +𝑒 -𝑒𝐶))
3837oveq2d 6781 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 𝐶)) = (-𝑒𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 -𝑒𝐶)))
3932, 35, 383eqtr4d 2768 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 𝐶)))
40 xaddcl 12184 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
411, 13, 40syl2anc 696 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
42 xnegdi 12192 . . . 4 (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶))
4341, 22, 42syl2anc 696 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶))
44 xaddcl 12184 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
4513, 22, 44syl2anc 696 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
46 xnegdi 12192 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 𝐶)))
471, 45, 46syl2anc 696 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒(𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 𝐶)))
4839, 43, 473eqtr4d 2768 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = -𝑒(𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
49 xaddcl 12184 . . . 4 (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
5041, 22, 49syl2anc 696 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
51 xaddcl 12184 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) ∈ ℝ*)
521, 45, 51syl2anc 696 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) ∈ ℝ*)
53 xneg11 12160 . . 3 ((((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) ∈ ℝ*) → (-𝑒((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = -𝑒(𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) ↔ ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶))))
5450, 52, 53syl2anc 696 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = -𝑒(𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) ↔ ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶))))
5548, 54mpbid 222 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  (class class class)co 6765  +∞cpnf 10184  -∞cmnf 10185  *cxr 10186  -𝑒cxne 12057   +𝑒 cxad 12058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-po 5139  df-so 5140  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-sub 10381  df-neg 10382  df-xneg 12060  df-xadd 12061
This theorem is referenced by:  infleinflem1  40001
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