Theorem xadd0ge 40003

Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xadd0ge.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xadd0ge.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xadd0ge	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))

Proof of Theorem xadd0ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xadd0ge.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddid1 12236	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
4	3	eqcomd 2754	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐴 +𝑒 0))
5		0xr 10249	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
7	1, 6	jca 555	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*))
8		iccssxr 12420	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
9		xadd0ge.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
10	8, 9	sseldi 3730	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
11	1, 10	jca 555	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
12	7, 11	jca 555	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)))
13		xrleid 12147	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)
14	1, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
15		pnfxr 10255	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
17		iccgelb 12394	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
18	6, 16, 9, 17	syl3anc 1463	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
19	14, 18	jca 555	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))
20		xle2add 12253	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)) → ((𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 0) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵)))
21	12, 19, 20	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 0) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))
22	4, 21	eqbrtrd 4814	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   class class class wbr 4792  (class class class)co 6801  0cc0 10099  +∞cpnf 10234  ℝ^*cxr 10236   ≤ cle 10238   +_𝑒 cxad 12108  [,]cicc 12342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-po 5175  df-so 5176  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-xadd 12111  df-icc 12346

This theorem is referenced by:  xadd0ge2  40024  sge0xadd  41124  meassle  41152  ovnsubaddlem1  41259