Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wzelOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wzelOLD 31756
Description: The zero of a well-founded set is a member of that set. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2018.) Obsolete version of wzel 31755 as of 10-Oct-2021. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
wzelOLD ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem wzelOLD
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 weso 5103 . . . 4 (𝑅 We 𝐴𝑅 Or 𝐴)
2 socnv 31640 . . . 4 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐴)
31, 2syl 17 . . 3 (𝑅 We 𝐴𝑅 Or 𝐴)
433ad2ant1 1081 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 Or 𝐴)
5 simp1 1060 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 We 𝐴)
6 simp2 1061 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 Se 𝐴)
7 ssid 3622 . . . . 5 𝐴𝐴
87a1i 11 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴)
9 simp3 1062 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
10 tz6.26 5709 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐴𝐴𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅)
115, 6, 8, 9, 10syl22anc 1326 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅)
12 pm2.27 42 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐴 → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1312ad2antll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
14 breq2 4655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑦𝑅𝑥))
1514rspcev 3307 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)
1615ex 450 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))
1716ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))
1813, 17jctird 567 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
19 vex 3201 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
20 vex 3201 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
2120elpred 5691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ V → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥)))
2219, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥))
2322notbii 310 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ ¬ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥))
24 imnan 438 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) ↔ ¬ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥))
2523, 24bitr4i 267 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
2619, 20brcnv 5303 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
2726notbii 310 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2827anbi1i 731 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)) ↔ (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)))
2918, 25, 283imtr4g 285 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
3029expr 643 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦𝐴 → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)))))
3130com23 86 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (𝑦𝐴 → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)))))
3231alimdv 1844 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → ∀𝑦(𝑦𝐴 → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)))))
33 eq0 3927 . . . . 5 (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))
34 r19.26 3062 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)))
35 df-ral 2916 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)) ↔ ∀𝑦(𝑦𝐴 → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
3634, 35bitr3i 266 . . . . 5 ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)) ↔ ∀𝑦(𝑦𝐴 → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
3732, 33, 363imtr4g 285 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
3837reximdva 3016 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
3911, 38mpd 15 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)))
404, 39supcl 8361 1 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1037  wal 1480   = wceq 1482  wcel 1989  wne 2793  wral 2911  wrex 2912  Vcvv 3198  wss 3572  c0 3913   class class class wbr 4651   Or wor 5032   Se wse 5069   We wwe 5070  ccnv 5111  Predcpred 5677  supcsup 8343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pr 4904
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-cnv 5120  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-iota 5849  df-riota 6608  df-sup 8345
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator