Theorem wwlksnextproplem3 26874

Description: Lemma 3 for wwlksnextprop 26875. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wwlksnextprop.x	⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
wwlksnextprop.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
wwlksnextprop.y	⊢ 𝑌 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}

Assertion

Ref	Expression
wwlksnextproplem3	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑃   𝑤,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑤)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)

Proof of Theorem wwlksnextproplem3

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 11371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2		iswwlksn 26786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
4		eqid 2651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5	4	wwlkbp 26789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
6		lencl 13356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
7		eqcom 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ↔ ((𝑁 + 1) + 1) = (#‘𝑊))
8		nn0cn 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
10		1cnd 10094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
11		nn0cn 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
12	1, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
14		subadd2 10323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) → (((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) + 1) = (#‘𝑊)))
15	14	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) → (((𝑁 + 1) + 1) = (#‘𝑊) ↔ ((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
16	9, 10, 13, 15	syl3anc 1366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 1) + 1) = (#‘𝑊) ↔ ((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
17	7, 16	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ↔ ((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
18		eqcom 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) ↔ (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))
19	18	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))
20	17, 19	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1)))
21	20	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))))
22	21	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))))
23	6, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))))
24	5, 23	simpl2im 657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))))
25	24	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1)))
26	25	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))
27	26	opeq2d 4440	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ⟨0, (𝑁 + 1)⟩ = ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)
28	27	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩))
29		simpll 805	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺))
30		nn0ge0 11356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
31		2re 11128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
33		nn0re 11339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
34	32, 33	addge02d 10654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (𝑁 + 2)))
35	30, 34	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ (𝑁 + 2))
36		nn0cn 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
37		1cnd 10094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
38	36, 37, 37	addassd 10100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
39		1p1e2 11172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 + 1) = 2
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 + 1) = 2)
41	40	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2))
42	38, 41	eqtrd 2685	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
43	35, 42	breqtrrd 4713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
44	43	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
45		breq2 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑊) ↔ 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
46	45	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 ≤ (#‘𝑊) ↔ 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
47	44, 46	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ≤ (#‘𝑊))
48	29, 47	jca 553	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)))
49		wwlksm1edg 26835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺))
51	28, 50	eqeltrd 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺))
52	51	expcom 450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))
53	3, 52	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))
54	53	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))
55	54	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))
56	55	imp 444	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺))
57		wwlksnextprop.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
58	4, 57	wwlknp 26791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
59		simpll 805	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
60		peano2nn0 11371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
61	1, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
62		peano2re 10247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
63	33, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
64	63	lep1d 10993	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
65		elfz2nn0 12469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
66	1, 61, 64, 65	syl3anbrc 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
67	66	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
68		oveq2 6698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (0...(#‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...(#‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
70	67, 69	eleqtrrd 2733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
71	70	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
72	59, 71	jca 553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))))
73	72	ex 449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))))
74	73	3adant3 1101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))))
75	58, 74	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))))
76	75	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))))
77	76	imp 444	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))))
78		swrd0len 13467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))
79	77, 78	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))
80	56, 79	jca 553	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1)))
81		iswwlksn 26786	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))))
82	81	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))))
83	80, 82	mpbird 247	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
84	83	exp31 629	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) = 𝑃 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))))
85		wwlksnextprop.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
86	84, 85	eleq2s 2748	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → ((𝑊‘0) = 𝑃 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))))
87	86	3imp 1275	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
88	85	wwlksnextproplem1 26872	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))
89	88	3adant2 1100	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))
90		simp2 1082	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊‘0) = 𝑃)
91	89, 90	eqtrd 2685	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑃)
92		fveq1 6228	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) → (𝑤‘0) = ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0))
93	92	eqeq1d 2653	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) → ((𝑤‘0) = 𝑃 ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑃))
94		wwlksnextprop.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}
95	93, 94	elrab2 3399	. 2 ⊢ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ 𝑌 ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑃))
96	87, 91, 95	sylanbrc 699	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231  {cpr 4212  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   ≤ cle 10113   − cmin 10304  2c2 11108  ℕ₀cn0 11330  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   substr csubstr 13327  Vtxcvtx 25919  Edgcedg 25984  WWalkscwwlks 26773   WWalksN cwwlksn 26774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-substr 13335  df-wwlks 26778  df-wwlksn 26779

This theorem is referenced by:  wwlksnextprop  26875