MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlksnextproplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlksnextproplem1 27054
Description: Lemma 1 for wwlksnextprop 27057. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Jul-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 13-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
wwlksnextprop.x 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
Assertion
Ref Expression
wwlksnextproplem1 ((𝑊𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem wwlksnextproplem1
StepHypRef Expression
1 wwlknbp1 26972 . . . . 5 (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)))
2 simpl2 1229 . . . . . . 7 ((((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
3 peano2nn0 11535 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
433ad2ant1 1127 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
5 eleq1 2838 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0))
653ad2ant3 1129 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0))
74, 6mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
87adantr 466 . . . . . . . 8 ((((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
9 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10 nn0re 11503 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
1110lep1d 11157 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
12113ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
13 breq2 4790 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
14133ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → ((𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
1512, 14mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))
1615adantr 466 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))
17 nn0p1elfzo 12719 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
189, 8, 16, 17syl3anc 1476 . . . . . . . 8 ((((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
19 fz0add1fz1 12746 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
208, 18, 19syl2anc 573 . . . . . . 7 ((((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
212, 20jca 501 . . . . . 6 ((((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊))))
2221ex 397 . . . . 5 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊)))))
231, 22syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊)))))
24 wwlksnextprop.x . . . 4 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
2523, 24eleq2s 2868 . . 3 (𝑊𝑋 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊)))))
2625imp 393 . 2 ((𝑊𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊))))
27 swrd0fv0 13649 . 2 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))
2826, 27syl 17 1 ((𝑊𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cop 4322   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  cle 10277  0cn0 11494  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  chash 13321  Word cword 13487   substr csubstr 13491  Vtxcvtx 26095   WWalksN cwwlksn 26954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-substr 13499  df-wwlks 26958  df-wwlksn 26959
This theorem is referenced by:  wwlksnextproplem3  27056  wwlksnextprop  27057
  Copyright terms: Public domain W3C validator