Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlksnextbij0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlksnextbij0 27041
 Description: Lemma for wwlksnextbij 27042. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Aug-2018.) (Revised by AV, 18-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wwlksnextbij0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wwlksnextbij0.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
wwlksnextbij0.d 𝐷 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 2) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) = 𝑊 ∧ {(lastS‘𝑊), (lastS‘𝑤)} ∈ 𝐸)}
wwlksnextbij.r 𝑅 = {𝑛𝑉 ∣ {(lastS‘𝑊), 𝑛} ∈ 𝐸}
wwlksnextbij.f 𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (lastS‘𝑡))
Assertion
Ref Expression
wwlksnextbij0 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → 𝐹:𝐷1-1-onto𝑅)
Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑊   𝑡,𝐷   𝑛,𝐸,𝑤   𝑡,𝑁,𝑤   𝑡,𝑅   𝑛,𝑉,𝑤   𝑛,𝑊   𝑡,𝑛,𝑁,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤,𝑛)   𝑅(𝑤,𝑛)   𝐸(𝑡)   𝐹(𝑤,𝑡,𝑛)   𝐺(𝑡,𝑛)   𝑉(𝑡)   𝑊(𝑡)

Proof of Theorem wwlksnextbij0
StepHypRef Expression
1 wwlksnextbij0.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21wwlknbp 26967 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉))
3 wwlksnextbij0.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4 wwlksnextbij0.d . . . . 5 𝐷 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 2) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) = 𝑊 ∧ {(lastS‘𝑊), (lastS‘𝑤)} ∈ 𝐸)}
5 wwlksnextbij.r . . . . 5 𝑅 = {𝑛𝑉 ∣ {(lastS‘𝑊), 𝑛} ∈ 𝐸}
6 wwlksnextbij.f . . . . 5 𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (lastS‘𝑡))
71, 3, 4, 5, 6wwlksnextinj 27039 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝐷1-1𝑅)
873ad2ant2 1129 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) → 𝐹:𝐷1-1𝑅)
92, 8syl 17 . 2 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → 𝐹:𝐷1-1𝑅)
101, 3, 4, 5, 6wwlksnextsur 27040 . 2 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → 𝐹:𝐷onto𝑅)
11 df-f1o 6057 . 2 (𝐹:𝐷1-1-onto𝑅 ↔ (𝐹:𝐷1-1𝑅𝐹:𝐷onto𝑅))
129, 10, 11sylanbrc 701 1 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → 𝐹:𝐷1-1-onto𝑅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  {crab 3055  Vcvv 3341  {cpr 4324  ⟨cop 4328   ↦ cmpt 4882  –1-1→wf1 6047  –onto→wfo 6048  –1-1-onto→wf1o 6049  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152  2c2 11283  ℕ0cn0 11505  ♯chash 13332  Word cword 13498  lastSclsw 13499   substr csubstr 13502  Vtxcvtx 26095  Edgcedg 26160   WWalksN cwwlksn 26951 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-n0 11506  df-xnn0 11577  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-hash 13333  df-word 13506  df-lsw 13507  df-concat 13508  df-s1 13509  df-substr 13510  df-wwlks 26955  df-wwlksn 26956 This theorem is referenced by:  wwlksnextbij  27042
 Copyright terms: Public domain W3C validator