Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlksm1edg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlksm1edg 26835
 Description: Removing the trailing edge from a walk (as word) with at least one edge results in a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 19-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
wwlksm1edg ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺))

Proof of Theorem wwlksm1edg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2651 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 2iswwlks 26784 . . 3 (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
4 lencl 13356 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
5 simpl 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
6 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 1 ∈ ℝ)
7 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 2 ∈ ℝ)
9 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
109adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
11 1le2 11279 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≤ 2
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 1 ≤ 2)
13 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 2 ≤ (#‘𝑊))
146, 8, 10, 12, 13letrd 10232 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 1 ≤ (#‘𝑊))
155, 14jca 553 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)))
16 elnnnn0c 11376 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)))
1715, 16sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
18 lbfzo0 12547 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (#‘𝑊) ∈ ℕ)
1917, 18sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 0 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
20 nn0ge2m1nn 11398 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
21 lbfzo0 12547 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)) ↔ ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
2220, 21sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
2319, 22jca 553 . . . . . . . . 9 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))))
244, 23sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))))
25 inelcm 4065 . . . . . . . 8 ((0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) ≠ ∅)
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) ≠ ∅)
27 wrdfn 13351 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)))
2827adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)))
29 fnresdisj 6039 . . . . . . . . . 10 (𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)) → (((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅))
31 nn0ge2m1nn0 11399 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
3210lem1d 10995 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊))
3331, 5, 323jca 1261 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
344, 33sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
35 elfz2nn0 12469 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ↔ (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
3634, 35sylibr 224 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
37 swrd0val 13466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = (𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))))
3837eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅))
3938bicomd 213 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = ∅))
4036, 39syldan 486 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = ∅))
4130, 40bitr2d 269 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = ∅ ↔ ((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅))
4241necon3bid 2867 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅ ↔ ((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) ≠ ∅))
4326, 42mpbird 247 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅)
44433ad2antl2 1244 . . . . 5 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅)
45 swrdcl 13464 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
4645a1d 25 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
47463ad2ant2 1103 . . . . . 6 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
4847imp 444 . . . . 5 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
49 nn0z 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
50 peano2zm 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
52 peano2zm 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
5453adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
5551adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
56 peano2rem 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑊) ∈ ℝ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
579, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
5857lem1d 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1))
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1))
6054, 55, 593jca 1261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1)))
614, 60sylan 487 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1)))
62 eluz2 11731 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘(((#‘𝑊) − 1) − 1)) ↔ ((((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1)))
6361, 62sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘(((#‘𝑊) − 1) − 1)))
649lem1d 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊))
6631, 5, 653jca 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
674, 66sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
6867, 35sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
69 swrd0len 13467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) = ((#‘𝑊) − 1))
7069oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1) = (((#‘𝑊) − 1) − 1))
7168, 70syldan 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1) = (((#‘𝑊) − 1) − 1))
7271fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (ℤ‘((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) = (ℤ‘(((#‘𝑊) − 1) − 1)))
7363, 72eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)))
74 fzoss2 12535 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) → (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
76 ssralv 3699 . . . . . . . . . . 11 ((0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7868, 69syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) = ((#‘𝑊) − 1))
7978oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1) = (((#‘𝑊) − 1) − 1))
8079oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) = (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)))
8180eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))))
82 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8382adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8436adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
854, 31sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
86 nn0z 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
87 fzossrbm1 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ → (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 → (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
8985, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
9089sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
91 swrd0fv 13485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥) = (𝑊𝑥))
9283, 84, 90, 91syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥) = (𝑊𝑥))
9392eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑊𝑥) = ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥))
944, 20sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
95 elfzom1p1elfzo 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑥 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
9694, 95sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑥 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
97 swrd0fv 13485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (𝑥 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1)) = (𝑊‘(𝑥 + 1)))
9883, 84, 96, 97syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1)) = (𝑊‘(𝑥 + 1)))
9998eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑊‘(𝑥 + 1)) = ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1)))
10093, 99preq12d 4308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → {(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))})
101100ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)) → {(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))}))
10281, 101sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) → {(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))}))
103102imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1))) → {(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))})
104103eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1))) → ({(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
105104biimpd 219 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1))) → ({(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
106105ralimdva 2991 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
10777, 106syld 47 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
108107expcom 450 . . . . . . . 8 (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
109108com3l 89 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (2 ≤ (#‘𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
110109a1i 11 . . . . . 6 (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (2 ≤ (#‘𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
1111103imp1 1302 . . . . 5 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
1121, 2iswwlks 26784 . . . . 5 ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
11344, 48, 111, 112syl3anbrc 1265 . . . 4 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺))
114113ex 449 . . 3 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))
1153, 114sylbi 207 . 2 (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))
116115imp 444 1 ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  {cpr 4212  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685   ↾ cres 5145   Fn wfn 5921  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   ≤ cle 10113   − cmin 10304  ℕcn 11058  2c2 11108  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   substr csubstr 13327  Vtxcvtx 25919  Edgcedg 25984  WWalkscwwlks 26773 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-substr 13335  df-wwlks 26778 This theorem is referenced by:  wwlksnextproplem3  26874
 Copyright terms: Public domain W3C validator