MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlksext2clwwlkOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlksext2clwwlkOLD 27188
Description: Obsolete version of wwlksext2clwwlk 27187 as of 14-Mar-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 7-Mar-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlkext2edg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlkext2edg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wwlksext2clwwlkOLD ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ 𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem wwlksext2clwwlkOLD
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlkext2edg.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21wwlknbp 26945 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉))
3 simp3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
43adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
5 s1cl 13572 . . . . . . . . 9 (𝑍𝑉 → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
65adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
7 ccatcl 13546 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉)
84, 6, 7syl2an 495 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉)
98adantr 472 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉)
10 clwwlkext2edg.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (Edg‘𝐺)
111, 10wwlknp 26946 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
12 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
1312adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
146ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
15 elfzo0 12703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁))
16 simp1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 ∈ ℕ0)
17 peano2nn 11224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
18173ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
19 nn0re 11493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℝ)
20193ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 ∈ ℝ)
21 nnre 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
22213ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
23 peano2re 10401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
25243ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
26 simp3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 < 𝑁)
2721ltp1d 11146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
28273ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
2920, 22, 25, 26, 28lttrd 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 < (𝑁 + 1))
30 elfzo0 12703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 + 1)))
3116, 18, 29, 30syl3anbrc 1429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
3215, 31sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
3332adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
34 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^(𝑁 + 1)))
3534adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^(𝑁 + 1)))
3635eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
3736ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
3833, 37mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
39 ccatval1 13549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
4013, 14, 38, 39syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
4140eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑊𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖))
42 fzonn0p1p1 12741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
4342adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
4434eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
4544ad3antlr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
4643, 45mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
47 ccatval1 13549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
4813, 14, 46, 47syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
4948eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)))
5041, 49preq12d 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))})
5150eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
5251ralbidva 3123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
5352biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
5453ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
5554com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
56553impia 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
5756com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
5857adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
5958impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
60 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
6160ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
62 nn0cn 11494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
6362ad2antll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
64 pncan1 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
6661, 65eqtr2d 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 = ((♯‘𝑊) − 1))
6766fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)))
686adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
69 nn0p1gt0 11514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
7069ad2antll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 0 < (𝑁 + 1))
71 breq2 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
7271ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
7370, 72mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 0 < (♯‘𝑊))
74 hashneq0 13347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7574ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7673, 75mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ≠ ∅)
77 ccatval1lsw 13556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
7812, 68, 76, 77syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
7967, 78eqtr2d 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (lastS‘𝑊) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁))
80 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 + 1) = (♯‘𝑊) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)))
8180eqcoms 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)))
8281ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)))
83 ccatws1ls 13609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑍)
8483ad2ant2r 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑍)
8582, 84eqtr2d 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑍 = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)))
8679, 85preq12d 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))})
87863adantl3 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))})
8887eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
8988biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
9089impr 650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸)
91 simprlr 822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
92 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑁 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁))
93 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑁 → (𝑖 + 1) = (𝑁 + 1))
9493fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑁 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)))
9592, 94preq12d 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑁 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))})
9695eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑁 → ({((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
9796ralsng 4362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑖 ∈ {𝑁} {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
9891, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (∀𝑖 ∈ {𝑁} {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
9990, 98mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ {𝑁} {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
100 ralunb 3937 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖 ∈ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ ∀𝑖 ∈ {𝑁} {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
10159, 99, 100sylanbrc 701 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
102 elnn0uz 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
103102biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
104103ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
105104adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
106 fzosplitsn 12770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
108107raleqdv 3283 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
109101, 108mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
110 ccatws1len 13591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
1111103ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
112111adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
113112oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (((♯‘𝑊) + 1) − 1))
114 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) + 1) = ((𝑁 + 1) + 1))
115114oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (((𝑁 + 1) + 1) − 1))
116 ax-1cn 10186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℂ
117 addcl 10210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
118 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
119117, 118pncand 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
12062, 116, 119sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
121115, 120sylan9eqr 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
122121ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1)))
123122ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1)))
124123com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1)))
1251243ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1)))
126125imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
127113, 126eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (𝑁 + 1))
128127oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) = (0..^(𝑁 + 1)))
129128raleqdv 3283 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
130109, 129mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
131130exp32 632 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
13211, 131syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
133132adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
134133imp 444 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
135134adantrd 485 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
136135imp 444 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
137 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
138 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑍𝑉)
139 lswccats1 13610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
140137, 138, 139syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
141140eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑍 = (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)))
142137adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
1436adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
14469adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 < (𝑁 + 1))
14571ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
146144, 145mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 < (♯‘𝑊))
147146adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 0 < (♯‘𝑊))
148 ccatfv0 13555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
149148eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊‘0) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0))
150142, 143, 147, 149syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑊‘0) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0))
151141, 150preq12d 4420 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → {𝑍, (𝑊‘0)} = {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)})
152151exp31 631 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑍, (𝑊‘0)} = {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)})))
153152com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑍, (𝑊‘0)} = {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)})))
1541533ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑍, (𝑊‘0)} = {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)})))
155 wwlknbp2OLD 26949 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
1561wrdeqi 13514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word 𝑉 = Word (Vtx‘𝐺)
157156eqcomi 2769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word (Vtx‘𝐺) = Word 𝑉
158157eleq2i 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ Word 𝑉)
159158biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
160159anim1i 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
161155, 160syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
162154, 161impel 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑍, (𝑊‘0)} = {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)}))
163162imp 444 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → {𝑍, (𝑊‘0)} = {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)})
164163eleq1d 2824 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ({𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸))
165164biimpcd 239 . . . . . . . 8 ({𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 → ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸))
166165adantl 473 . . . . . . 7 (({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸))
167166impcom 445 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸)
1689, 136, 1673jca 1123 . . . . 5 (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸))
169110ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
170114adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((♯‘𝑊) + 1) = ((𝑁 + 1) + 1))
171 1cnd 10248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
17262, 171, 171addassd 10254 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
173 1p1e2 11326 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) = 2
174173oveq2i 6824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2)
175172, 174syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
176175adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
177170, 176sylan9eq 2814 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ((♯‘𝑊) + 1) = (𝑁 + 2))
178169, 177eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))
179178ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2)))
180161, 179syl 17 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2)))
181180adantl 473 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2)))
182181imp 444 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))
183182adantr 472 . . . . 5 (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))
184 2nn 11377 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
185 nn0nnaddcl 11516 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ)
186184, 185mpan2 709 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 2) ∈ ℕ)
1871863ad2ant2 1129 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ)
1881, 10isclwwlknx 27164 . . . . . . 7 ((𝑁 + 2) ∈ ℕ → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))))
189187, 188syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))))
190189ad3antrrr 768 . . . . 5 (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))))
191168, 183, 190mpbir2and 995 . . . 4 (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺))
192191exp31 631 . . 3 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺))))
1932, 192mpancom 706 . 2 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺))))
1941933impib 1109 1 ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ 𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  Vcvv 3340  cun 3713  c0 4058  {csn 4321  {cpr 4323   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   < clt 10266  cmin 10458  cn 11212  2c2 11262  0cn0 11484  cuz 11879  ..^cfzo 12659  chash 13311  Word cword 13477  lastSclsw 13478   ++ cconcat 13479  ⟨“cs1 13480  Vtxcvtx 26073  Edgcedg 26138   WWalksN cwwlksn 26929   ClWWalksN cclwwlkn 27147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-lsw 13486  df-concat 13487  df-s1 13488  df-wwlks 26933  df-wwlksn 26934  df-clwwlk 27105  df-clwwlkn 27149
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator