Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlks2onv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlks2onv 26918
 Description: If a length 3 string represents a walk of length 2, its components are vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Feb-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
wwlks2onv.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wwlks2onv ((𝐵𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))

Proof of Theorem wwlks2onv
StepHypRef Expression
1 wwlks2onv.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21wwlksonvtx 26805 . . 3 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝐴𝑉𝐶𝑉))
32adantl 481 . 2 ((𝐵𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → (𝐴𝑉𝐶𝑉))
4 simprl 809 . . 3 (((𝐵𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴𝑉)
5 wwlknon 26808 . . . . . 6 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))
6 wwlknbp1 26792 . . . . . . . 8 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (2 ∈ ℕ0 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (2 + 1)))
7 s3fv1 13683 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵𝑈 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
87eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝑈𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
98adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵𝑈) → 𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
101eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Vtx‘𝐺) = 𝑉
1110wrdeqi 13360 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word (Vtx‘𝐺) = Word 𝑉
1211eleq2i 2722 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
1312biimpi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
14 1ex 10073 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ V
1514tpid2 4336 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ {0, 1, 2}
16 s3len 13685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
1716oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0..^(#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)) = (0..^3)
18 fzo0to3tp 12594 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0..^3) = {0, 1, 2}
1917, 18eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^(#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)) = {0, 1, 2}
2015, 19eleqtrri 2729 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))
21 wrdsymbcl 13350 . . . . . . . . . . . . 13 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∈ 𝑉)
2213, 20, 21sylancl 695 . . . . . . . . . . . 12 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∈ 𝑉)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵𝑈) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∈ 𝑉)
249, 23eqeltrd 2730 . . . . . . . . . 10 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵𝑈) → 𝐵𝑉)
2524ex 449 . . . . . . . . 9 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝐵𝑈𝐵𝑉))
26253ad2ant2 1103 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ0 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (2 + 1)) → (𝐵𝑈𝐵𝑉))
276, 26syl 17 . . . . . . 7 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (𝐵𝑈𝐵𝑉))
28273ad2ant1 1102 . . . . . 6 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶) → (𝐵𝑈𝐵𝑉))
295, 28sylbi 207 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝐵𝑈𝐵𝑉))
3029impcom 445 . . . 4 ((𝐵𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → 𝐵𝑉)
3130adantr 480 . . 3 (((𝐵𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → 𝐵𝑉)
32 simprr 811 . . 3 (((𝐵𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → 𝐶𝑉)
334, 31, 323jca 1261 . 2 (((𝐵𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
343, 33mpdan 703 1 ((𝐵𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {ctp 4214  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  2c2 11108  3c3 11109  ℕ0cn0 11330  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323  ⟨“cs3 13633  Vtxcvtx 25919   WWalksN cwwlksn 26774   WWalksNOn cwwlksnon 26775 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-wwlks 26778  df-wwlksn 26779  df-wwlksnon 26780 This theorem is referenced by:  frgr2wwlkeqm  27311
 Copyright terms: Public domain W3C validator