Theorem wunstr 16087

Description: Closure of a structure index in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndxarg.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
wunstr.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunstr.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunstr	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wunstr.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wunstr.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
3	1, 2	wunrn 9752	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ∈ 𝑈)
4	1, 3	wununi 9729	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝑆 ∈ 𝑈)
5		ndxarg.1	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
6	5	strfvss 16086	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝑆) ⊆ ∪ ran 𝑆
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) ⊆ ∪ ran 𝑆)
8	1, 4, 7	wunss 9735	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3721  ∪ cuni 4572  ran crn 5250  ‘cfv 6031  WUnicwun 9723  Slot cslot 16062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fv 6039  df-wun 9725  df-slot 16067

This theorem is referenced by:  wunress  16147  1strwun  16189  wunfunc  16765  wunnat  16822  catcoppccl  16964  catcfuccl  16965  estrcbasbas  16977  catcxpccl  17054  ringcbasbas  42552  ringcbasbasALTV  42576