MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wunom 9734
Description: A weak universe contains all the finite ordinals, and hence is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wun0.1 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
Assertion
Ref Expression
wunom (𝜑 → ω ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem wunom
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wun0.1 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
21adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑈 ∈ WUni)
31wunr1om 9733 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈)
4 r1funlim 8802 . . . . . . . 8 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
54simpli 476 . . . . . . 7 Fun 𝑅1
64simpri 481 . . . . . . . 8 Lim dom 𝑅1
7 limomss 7235 . . . . . . . 8 (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 ω ⊆ dom 𝑅1
9 funimass4 6409 . . . . . . 7 ((Fun 𝑅1 ∧ ω ⊆ dom 𝑅1) → ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈))
105, 8, 9mp2an 710 . . . . . 6 ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)
113, 10sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)
1211r19.21bi 3070 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)
13 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
148, 13sseldi 3742 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
15 onssr1 8867 . . . . 5 (𝑥 ∈ dom 𝑅1𝑥 ⊆ (𝑅1𝑥))
1614, 15syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ⊆ (𝑅1𝑥))
172, 12, 16wunss 9726 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑥𝑈)
1817ex 449 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ω → 𝑥𝑈))
1918ssrdv 3750 1 (𝜑 → ω ⊆ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2139  wral 3050  wss 3715  dom cdm 5266  cima 5269  Lim wlim 5885  Fun wfun 6043  cfv 6049  ωcom 7230  𝑅1cr1 8798  WUnicwun 9714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-r1 8800  df-rank 8801  df-wun 9716
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator