MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wuncval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wuncval 9677
Description: Value of the weak universe closure operator. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
wuncval (𝐴𝑉 → (wUniCl‘𝐴) = {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢})
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝑉

Proof of Theorem wuncval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3316 . 2 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
2 wunex 9674 . . . 4 (𝐴𝑉 → ∃𝑢 ∈ WUni 𝐴𝑢)
3 rabn0 4066 . . . 4 ({𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢} ≠ ∅ ↔ ∃𝑢 ∈ WUni 𝐴𝑢)
42, 3sylibr 224 . . 3 (𝐴𝑉 → {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢} ≠ ∅)
5 intex 4925 . . 3 ({𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢} ≠ ∅ ↔ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢} ∈ V)
64, 5sylib 208 . 2 (𝐴𝑉 {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢} ∈ V)
7 sseq1 3732 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑢𝐴𝑢))
87rabbidv 3293 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝑥𝑢} = {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢})
98inteqd 4588 . . 3 (𝑥 = 𝐴 {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝑥𝑢} = {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢})
10 df-wunc 9638 . . 3 wUniCl = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝑥𝑢})
119, 10fvmptg 6394 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢} ∈ V) → (wUniCl‘𝐴) = {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢})
121, 6, 11syl2anc 696 1 (𝐴𝑉 → (wUniCl‘𝐴) = {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  wrex 3015  {crab 3018  Vcvv 3304  wss 3680  c0 4023   cint 4583  cfv 6001  WUnicwun 9635  wUniClcwunm 9636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-om 7183  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-wun 9637  df-wunc 9638
This theorem is referenced by:  wuncid  9678  wunccl  9679  wuncss  9680
  Copyright terms: Public domain W3C validator