MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wuncn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wuncn 10029
Description: A weak universe containing ω contains the complex number construction. This theorem is construction-dependent in the literal sense, but will also be satisfied by any other reasonable implementation of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wuncn.1 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
wuncn.2 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
wuncn (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wuncn
StepHypRef Expression
1 df-c 9980 . 2 ℂ = (R × R)
2 wuncn.1 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
3 df-nr 9916 . . . 4 R = ((P × P) / ~R )
4 df-ni 9732 . . . . . . . . . . . 12 N = (ω ∖ {∅})
5 wuncn.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
62, 5wundif 9574 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ω ∖ {∅}) ∈ 𝑈)
74, 6syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝜑N𝑈)
82, 7, 7wunxp 9584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (N × N) ∈ 𝑈)
9 elpqn 9785 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥Q𝑥 ∈ (N × N))
109ssriv 3640 . . . . . . . . . . 11 Q ⊆ (N × N)
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑Q ⊆ (N × N))
122, 8, 11wunss 9572 . . . . . . . . 9 (𝜑Q𝑈)
132, 12wunpw 9567 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝒫 Q𝑈)
14 prpssnq 9850 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥P𝑥Q)
1514pssssd 3737 . . . . . . . . . . 11 (𝑥P𝑥Q)
16 selpw 4198 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 Q𝑥Q)
1715, 16sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (𝑥P𝑥 ∈ 𝒫 Q)
1817ssriv 3640 . . . . . . . . 9 P ⊆ 𝒫 Q
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑P ⊆ 𝒫 Q)
202, 13, 19wunss 9572 . . . . . . 7 (𝜑P𝑈)
212, 20, 20wunxp 9584 . . . . . 6 (𝜑 → (P × P) ∈ 𝑈)
222, 21wunpw 9567 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 (P × P) ∈ 𝑈)
23 enrer 9924 . . . . . . 7 ~R Er (P × P)
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ~R Er (P × P))
2524qsss 7851 . . . . 5 (𝜑 → ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P))
262, 22, 25wunss 9572 . . . 4 (𝜑 → ((P × P) / ~R ) ∈ 𝑈)
273, 26syl5eqel 2734 . . 3 (𝜑R𝑈)
282, 27, 27wunxp 9584 . 2 (𝜑 → (R × R) ∈ 𝑈)
291, 28syl5eqel 2734 1 (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  cdif 3604  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210   × cxp 5141  ωcom 7107   Er wer 7784   / cqs 7786  WUnicwun 9560  Ncnpi 9704  Qcnq 9712  Pcnp 9719   ~R cer 9724  Rcnr 9725  cc 9972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-wun 9562  df-ni 9732  df-pli 9733  df-mi 9734  df-lti 9735  df-plpq 9768  df-mpq 9769  df-ltpq 9770  df-enq 9771  df-nq 9772  df-erq 9773  df-plq 9774  df-mq 9775  df-1nq 9776  df-rq 9777  df-ltnq 9778  df-np 9841  df-plp 9843  df-ltp 9845  df-enr 9915  df-nr 9916  df-c 9980
This theorem is referenced by:  wunndx  15925
  Copyright terms: Public domain W3C validator