Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wspthsnwspthsnonOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wspthsnwspthsnonOLD 27063
 Description: Obsolete version of wspthsnwspthsnon 27061 as of 13-Mar-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
wwlksnwwlksnon.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wspthsnwspthsnonOLD ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
Distinct variable groups:   𝐺,𝑎,𝑏   𝑁,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏   𝑈,𝑎,𝑏

Proof of Theorem wspthsnwspthsnonOLD
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswspthn 26978 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊))
21a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊)))
3 wwlksnwwlksnon.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43wwlksnwwlksnonOLD 27062 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)))
54anbi1d 615 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊)))
6 r19.41vv 3239 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊))
75, 6syl6bbr 278 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊)))
8 3anass 1080 . . . . . . . 8 ((𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏) ↔ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
98a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → ((𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏) ↔ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))))
10 simpr 471 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
11 vex 3354 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
1211jctl 513 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) → (𝑓 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)))
133isspthonpth 26880 . . . . . . . 8 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑓 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏))) → (𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊 ↔ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
1410, 12, 13syl2an 583 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → (𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊 ↔ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
15 spthiswlk 26859 . . . . . . . . . 10 (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊𝑓(Walks‘𝐺)𝑊)
16 wlklenvm1 26752 . . . . . . . . . 10 (𝑓(Walks‘𝐺)𝑊 → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))
173wwlknonOLD 26990 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏)))
1817adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏)))
19 simpl2 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊‘0) = 𝑎)
20 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))
2120adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))
22 wwlknbp2OLD 26974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
23 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
2423adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
25 nn0cn 11504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
26 pncan1 10656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2827adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2924, 28sylan9eq 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
3029ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁))
3122, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁))
32313ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁))
3332imp 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
3421, 33eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → (♯‘𝑓) = 𝑁)
3534fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊‘(♯‘𝑓)) = (𝑊𝑁))
36 simpl3 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊𝑁) = 𝑏)
3735, 36eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)
3819, 37jca 501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))
3938exp32 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))))
4039com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))))
4140adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))))
4241adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))))
4318, 42sylbid 230 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))))
4443imp 393 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
4544com12 32 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
4615, 16, 453syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 → ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
4746com12 32 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
4847pm4.71d 551 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ↔ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))))
499, 14, 483bitr4rd 301 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊))
5049exbidv 2002 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → (∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ↔ ∃𝑓 𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊))
5150pm5.32da 568 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊)))
523wspthnonOLDOLD 26992 . . . . 5 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊)))
5352adantl 467 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊)))
5451, 53bitr4d 271 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
55542rexbidva 3204 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
562, 7, 553bitrd 294 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631  ∃wex 1852   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3062  Vcvv 3351   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℂcc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   − cmin 10468  ℕ0cn0 11494  ♯chash 13321  Word cword 13487  Vtxcvtx 26095  Walkscwlks 26727  SPathscspths 26844  SPathsOncspthson 26846   WWalksN cwwlksn 26954   WWalksNOn cwwlksnon 26955   WSPathsN cwwspthsn 26956   WSPathsNOn cwwspthsnon 26957 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-ifp 1050  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-wlks 26730  df-wlkson 26731  df-trls 26824  df-trlson 26825  df-pths 26847  df-spths 26848  df-spthson 26850  df-wwlks 26958  df-wwlksn 26959  df-wwlksnon 26960  df-wspthsn 26961  df-wspthsnon 26962 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator