Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wspn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wspn0 27065
 Description: If there are no vertices, then there are no simple paths (of any length), too. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.) (Proof shortened by AV, 13-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
wspn0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wspn0 (𝑉 = ∅ → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∅)

Proof of Theorem wspn0
Dummy variables 𝑓 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wspthsn 26973 . 2 (𝑁 WSPathsN 𝐺) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤}
2 wwlknbp1 26968 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
3 wspn0.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43eqeq1i 2765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 = ∅ ↔ (Vtx‘𝐺) = ∅)
5 wrdeq 13533 . . . . . . . . . . . 12 ((Vtx‘𝐺) = ∅ → Word (Vtx‘𝐺) = Word ∅)
64, 5sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = ∅ → Word (Vtx‘𝐺) = Word ∅)
76eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = ∅ → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑤 ∈ Word ∅))
8 0wrd0 13537 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ Word ∅ ↔ 𝑤 = ∅)
97, 8syl6bb 276 . . . . . . . . 9 (𝑉 = ∅ → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑤 = ∅))
10 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
11 hash0 13370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (♯‘∅) = 0
1210, 11syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = 0)
1312eqeq1d 2762 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ↔ 0 = (𝑁 + 1)))
1413adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑤 = ∅) → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ↔ 0 = (𝑁 + 1)))
15 nn0p1gt0 11534 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
1615gt0ne0d 10804 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
17 eqneqall 2943 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 + 1) = 0 → ((𝑁 + 1) ≠ 0 → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
1817eqcoms 2768 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) ≠ 0 → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
1916, 18syl5com 31 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
2019adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑤 = ∅) → (0 = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
2114, 20sylbid 230 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑤 = ∅) → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
2221expcom 450 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = ∅ → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)))
2322com23 86 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)))
249, 23syl6bi 243 . . . . . . . 8 (𝑉 = ∅ → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))))
2524com14 96 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → (𝑉 = ∅ → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))))
26253imp 1102 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) → (𝑉 = ∅ → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
272, 26syl 17 . . . . 5 (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑉 = ∅ → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
2827impcom 445 . . . 4 ((𝑉 = ∅ ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)
2928ralrimiva 3104 . . 3 (𝑉 = ∅ → ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)
30 rabeq0 4100 . . 3 ({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)
3129, 30sylibr 224 . 2 (𝑉 = ∅ → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤} = ∅)
321, 31syl5eq 2806 1 (𝑉 = ∅ → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632  ∃wex 1853   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  {crab 3054  ∅c0 4058   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151  ℕ0cn0 11504  ♯chash 13331  Word cword 13497  Vtxcvtx 26094  SPathscspths 26840   WWalksN cwwlksn 26950   WSPathsN cwwspthsn 26952 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505  df-wwlks 26954  df-wwlksn 26955  df-wspthsn 26957 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator