MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdf 13496
Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
wrdf (𝑊 ∈ Word 𝑆𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswrd 13493 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2 simpr 479 . . . 4 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3 fnfzo0hash 13426 . . . . . 6 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
43oveq2d 6829 . . . . 5 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
54feq2d 6192 . . . 4 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
62, 5mpbird 247 . . 3 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
76rexlimiva 3166 . 2 (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
81, 7sylbi 207 1 (𝑊 ∈ Word 𝑆𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2139  wrex 3051  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  0cn0 11484  ..^cfzo 12659  chash 13311  Word cword 13477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485
This theorem is referenced by:  iswrdb  13497  wrddm  13498  wrdsymbcl  13504  wrdfn  13505  wrdv  13506  wrdffz  13512  0wrd0  13517  wrdnval  13521  wrdred1  13536  wrdred1hash  13537  ccatcl  13546  ccatass  13560  ccatrn  13561  ccatalpha  13565  s1dm  13579  swrdcl  13618  swrd0val  13620  swrdf  13625  swrdnd2  13633  ccatswrd  13656  swrdccat1  13657  swrdccat2  13658  cats1un  13675  revcl  13710  revlen  13711  revccat  13715  revrev  13716  repsdf2  13725  cshwf  13746  cshinj  13757  wrdco  13777  lenco  13778  revco  13780  ccatco  13781  lswco  13784  s2dm  13835  wwlktovf  13900  ofccat  13909  gsumwsubmcl  17576  gsumccat  17579  gsumwmhm  17583  frmdss2  17601  symgtrinv  18092  psgnunilem5  18114  psgnunilem2  18115  psgnunilem3  18116  efginvrel1  18341  efgsf  18342  efgsrel  18347  efgs1b  18349  efgredlemf  18354  efgredlemd  18357  efgredlemc  18358  efgredlem  18360  frgpup3lem  18390  pgpfaclem1  18680  ablfaclem2  18685  ablfaclem3  18686  ablfac2  18688  dchrptlem1  25188  dchrptlem2  25189  trgcgrg  25609  tgcgr4  25625  wrdupgr  26179  wrdumgr  26191  vdegp1ai  26642  vdegp1bi  26643  wlkreslem  26776  wlkres  26777  wlkp1  26788  wlkdlem1  26789  trlf1  26805  trlreslem  26806  upgrwlkdvdelem  26842  pthdlem1  26872  pthdlem2lem  26873  uspgrn2crct  26911  wlkiswwlks2lem3  26980  wlkiswwlksupgr2  26986  clwlkclwwlklem2a  27121  clwlkclwwlklem2  27123  1wlkdlem1  27289  wlk2v2e  27309  eucrctshift  27395  konigsbergssiedgw  27402  sseqf  30763  fiblem  30769  wrdfd  30925  wrdres  30926  ofcccat  30929  signstcl  30951  signstf  30952  signstfvn  30955  signsvtn0  30956  signstres  30961  signsvtp  30969  signsvtn  30970  signsvfpn  30971  signsvfnn  30972  signshf  30974  mvrsfpw  31710  amgm2d  39003  amgm3d  39004  amgm4d  39005  lswn0  41890  pfxres  41898  ccatpfx  41919  amgmw2d  43063
  Copyright terms: Public domain W3C validator