MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdexg 13521
Description: The set of words over a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
wrdexg (𝑆𝑉 → Word 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wrdexg
Dummy variables 𝑠 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdval 13514 . 2 (𝑆𝑉 → Word 𝑆 = 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆𝑚 (0..^𝑙)))
2 mapsspw 8061 . . . . . 6 (𝑆𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 ((0..^𝑙) × 𝑆)
3 elfzoelz 12684 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (0..^𝑙) → 𝑠 ∈ ℤ)
43ssriv 3748 . . . . . . . 8 (0..^𝑙) ⊆ ℤ
5 xpss1 5284 . . . . . . . 8 ((0..^𝑙) ⊆ ℤ → ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ (ℤ × 𝑆))
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7 ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ (ℤ × 𝑆)
7 sspwb 5066 . . . . . . 7 (((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ (ℤ × 𝑆) ↔ 𝒫 ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆))
86, 7mpbi 220 . . . . . 6 𝒫 ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
92, 8sstri 3753 . . . . 5 (𝑆𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
109rgenw 3062 . . . 4 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
11 iunss 4713 . . . 4 ( 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆) ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆))
1210, 11mpbir 221 . . 3 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
13 zex 11598 . . . . 5 ℤ ∈ V
14 xpexg 7126 . . . . 5 ((ℤ ∈ V ∧ 𝑆𝑉) → (ℤ × 𝑆) ∈ V)
1513, 14mpan 708 . . . 4 (𝑆𝑉 → (ℤ × 𝑆) ∈ V)
16 pwexg 4999 . . . 4 ((ℤ × 𝑆) ∈ V → 𝒫 (ℤ × 𝑆) ∈ V)
1715, 16syl 17 . . 3 (𝑆𝑉 → 𝒫 (ℤ × 𝑆) ∈ V)
18 ssexg 4956 . . 3 (( 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆) ∧ 𝒫 (ℤ × 𝑆) ∈ V) → 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆𝑚 (0..^𝑙)) ∈ V)
1912, 17, 18sylancr 698 . 2 (𝑆𝑉 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆𝑚 (0..^𝑙)) ∈ V)
201, 19eqeltrd 2839 1 (𝑆𝑉 → Word 𝑆 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  wral 3050  Vcvv 3340  wss 3715  𝒫 cpw 4302   ciun 4672   × cxp 5264  (class class class)co 6814  𝑚 cmap 8025  0cc0 10148  0cn0 11504  cz 11589  ..^cfzo 12679  Word cword 13497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-map 8027  df-pm 8028  df-neg 10481  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-word 13505
This theorem is referenced by:  wrdexb  13522  wrdexi  13523  wrdnfi  13544  elovmpt2wrd  13554  elovmptnn0wrd  13555  wrd2f1tovbij  13924  frmdbas  17610  frmdplusg  17612  vrmdfval  17614  efgval  18350  frgp0  18393  frgpmhm  18398  vrgpf  18401  vrgpinv  18402  frgpupf  18406  frgpup1  18408  frgpup2  18409  frgpup3lem  18410  frgpnabllem1  18496  frgpnabllem2  18497  ablfaclem1  18704  israg  25812  wksfval  26736  wksv  26746  wwlks  26959  clwwlk  27127  sseqval  30780  upwlksfval  42244
  Copyright terms: Public domain W3C validator