MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdexb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdexb 13348
Description: The set of words over a set is a set, bidirectional version. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 23-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
wrdexb (𝑆 ∈ V ↔ Word 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wrdexb
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdexg 13347 . 2 (𝑆 ∈ V → Word 𝑆 ∈ V)
2 opex 4962 . . . . . . . 8 ⟨0, 𝑠⟩ ∈ V
32snid 4241 . . . . . . 7 ⟨0, 𝑠⟩ ∈ {⟨0, 𝑠⟩}
4 snopiswrd 13346 . . . . . . 7 (𝑠𝑆 → {⟨0, 𝑠⟩} ∈ Word 𝑆)
5 elunii 4473 . . . . . . 7 ((⟨0, 𝑠⟩ ∈ {⟨0, 𝑠⟩} ∧ {⟨0, 𝑠⟩} ∈ Word 𝑆) → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ Word 𝑆)
63, 4, 5sylancr 696 . . . . . 6 (𝑠𝑆 → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ Word 𝑆)
7 c0ex 10072 . . . . . . 7 0 ∈ V
8 vex 3234 . . . . . . 7 𝑠 ∈ V
97, 8opeluu 4968 . . . . . 6 (⟨0, 𝑠⟩ ∈ Word 𝑆 → (0 ∈ Word 𝑆𝑠 Word 𝑆))
106, 9syl 17 . . . . 5 (𝑠𝑆 → (0 ∈ Word 𝑆𝑠 Word 𝑆))
1110simprd 478 . . . 4 (𝑠𝑆𝑠 Word 𝑆)
1211ssriv 3640 . . 3 𝑆 Word 𝑆
13 uniexg 6997 . . . 4 (Word 𝑆 ∈ V → Word 𝑆 ∈ V)
14 uniexg 6997 . . . 4 ( Word 𝑆 ∈ V → Word 𝑆 ∈ V)
15 uniexg 6997 . . . 4 ( Word 𝑆 ∈ V → Word 𝑆 ∈ V)
1613, 14, 153syl 18 . . 3 (Word 𝑆 ∈ V → Word 𝑆 ∈ V)
17 ssexg 4837 . . 3 ((𝑆 Word 𝑆 Word 𝑆 ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
1812, 16, 17sylancr 696 . 2 (Word 𝑆 ∈ V → 𝑆 ∈ V)
191, 18impbii 199 1 (𝑆 ∈ V ↔ Word 𝑆 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  wcel 2030  Vcvv 3231  wss 3607  {csn 4210  cop 4216   cuni 4468  0cc0 9974  Word cword 13323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-word 13331
This theorem is referenced by:  efgrcl  18174
  Copyright terms: Public domain W3C validator