Theorem wrdeqs1cat 13683

Description: Decompose a nonempty word by separating off the first symbol. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
wrdeqs1cat	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 = (⟨“(𝑊‘0)”⟩ ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)))

Proof of Theorem wrdeqs1cat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 468	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
2		1nn0 11510	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		0elfz 12644	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...1))
4	2, 3	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 0 ∈ (0...1))
5		wrdfin 13519	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊 ∈ Fin)
6		1elfz0hash 13381	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Fin ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 1 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
7	5, 6	sylan 569	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 1 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
8		lennncl 13521	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
9	8	nnnn0d 11553	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10		eluzfz2 12556	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
11		nn0uz 11924	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
12	10, 11	eleq2s 2868	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
13	9, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
14		ccatswrd 13665	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (0 ∈ (0...1) ∧ 1 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → ((𝑊 substr ⟨0, 1⟩) ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩))
15	1, 4, 7, 13, 14	syl13anc 1478	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, 1⟩) ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩))
16		0p1e1 11334	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
17	16	opeq2i 4543	. . . . 5 ⊢ ⟨0, (0 + 1)⟩ = ⟨0, 1⟩
18	17	oveq2i 6804	. . . 4 ⊢ (𝑊 substr ⟨0, (0 + 1)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 1⟩)
19		0nn0 11509	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 0 ∈ ℕ0)
21		hashgt0 13379	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝑊))
22		elfzo0 12717	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
23	20, 8, 21, 22	syl3anbrc 1428	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
24		swrds1 13660	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
25	23, 24	syldan 579	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
26	18, 25	syl5eqr 2819	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, 1⟩) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
27	26	oveq1d 6808	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, 1⟩) ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩ ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)))
28		swrdid 13637	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) = 𝑊)
29	28	adantr 466	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) = 𝑊)
30	15, 27, 29	3eqtr3rd 2814	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 = (⟨“(𝑊‘0)”⟩ ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∅c0 4063  ⟨cop 4322   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   < clt 10276  ℕcn 11222  ℕ₀cn0 11494  ℤ_≥cuz 11888  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  ♯chash 13321  Word cword 13487   ++ cconcat 13489  ⟨“cs1 13490   substr csubstr 13491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-substr 13499

This theorem is referenced by: (None)