MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdeqs1cat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdeqs1cat 13683
Description: Decompose a nonempty word by separating off the first symbol. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 9-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
wrdeqs1cat ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 = (⟨“(𝑊‘0)”⟩ ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)))

Proof of Theorem wrdeqs1cat
StepHypRef Expression
1 simpl 468 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
2 1nn0 11510 . . . 4 1 ∈ ℕ0
3 0elfz 12644 . . . 4 (1 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...1))
42, 3mp1i 13 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → 0 ∈ (0...1))
5 wrdfin 13519 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ∈ Fin)
6 1elfz0hash 13381 . . . 4 ((𝑊 ∈ Fin ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 1 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
75, 6sylan 569 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → 1 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
8 lennncl 13521 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
98nnnn0d 11553 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10 eluzfz2 12556 . . . . 5 ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘0) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
11 nn0uz 11924 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
1210, 11eleq2s 2868 . . . 4 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
139, 12syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
14 ccatswrd 13665 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (0 ∈ (0...1) ∧ 1 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → ((𝑊 substr ⟨0, 1⟩) ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩))
151, 4, 7, 13, 14syl13anc 1478 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, 1⟩) ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩))
16 0p1e1 11334 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
1716opeq2i 4543 . . . . 5 ⟨0, (0 + 1)⟩ = ⟨0, 1⟩
1817oveq2i 6804 . . . 4 (𝑊 substr ⟨0, (0 + 1)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 1⟩)
19 0nn0 11509 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
2019a1i 11 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → 0 ∈ ℕ0)
21 hashgt0 13379 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝑊))
22 elfzo0 12717 . . . . . 6 (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
2320, 8, 21, 22syl3anbrc 1428 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
24 swrds1 13660 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
2523, 24syldan 579 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
2618, 25syl5eqr 2819 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, 1⟩) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
2726oveq1d 6808 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, 1⟩) ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩ ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)))
28 swrdid 13637 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) = 𝑊)
2928adantr 466 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) = 𝑊)
3015, 27, 293eqtr3rd 2814 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 = (⟨“(𝑊‘0)”⟩ ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  c0 4063  cop 4322   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   < clt 10276  cn 11222  0cn0 11494  cuz 11888  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  chash 13321  Word cword 13487   ++ cconcat 13489  ⟨“cs1 13490   substr csubstr 13491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-substr 13499
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator