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Theorem wofib 8491
Description: The only sets which are well-ordered forwards and backwards are finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
wofib.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
wofib ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) ↔ (𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴))

Proof of Theorem wofib
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wofi 8250 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)
2 cnvso 5712 . . . 4 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐴)
3 wofi 8250 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)
42, 3sylanb 488 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)
51, 4jca 553 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴))
6 weso 5134 . . . 4 (𝑅 We 𝐴𝑅 Or 𝐴)
76adantr 480 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → 𝑅 Or 𝐴)
8 peano2 7128 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)
9 sucidg 5841 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → 𝑦 ∈ suc 𝑦)
10 vex 3234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
11 vex 3234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
1210, 11brcnv 5337 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 E 𝑦𝑦 E 𝑧)
13 epel 5061 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 E 𝑧𝑦𝑧)
1412, 13bitri 264 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 E 𝑦𝑦𝑧)
15 eleq2 2719 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = suc 𝑦 → (𝑦𝑧𝑦 ∈ suc 𝑦))
1614, 15syl5bb 272 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = suc 𝑦 → (𝑧 E 𝑦𝑦 ∈ suc 𝑦))
1716rspcev 3340 . . . . . . . . 9 ((suc 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ω 𝑧 E 𝑦)
188, 9, 17syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ω → ∃𝑧 ∈ ω 𝑧 E 𝑦)
19 dfrex2 3025 . . . . . . . 8 (∃𝑧 ∈ ω 𝑧 E 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦)
2018, 19sylib 208 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ω → ¬ ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦)
2120nrex 3029 . . . . . 6 ¬ ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦
22 ordom 7116 . . . . . . . 8 Ord ω
23 eqid 2651 . . . . . . . . 9 OrdIso(𝑅, 𝐴) = OrdIso(𝑅, 𝐴)
2423oicl 8475 . . . . . . . 8 Ord dom OrdIso(𝑅, 𝐴)
25 ordtri1 5794 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ Ord dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ ¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω))
2622, 24, 25mp2an 708 . . . . . . 7 (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ ¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω)
27 wofib.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ∈ V
2823oion 8482 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ On)
2927, 28mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ On)
30 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
3129, 30ssexd 4838 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ∈ V)
3223oiiso 8483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑅 We 𝐴) → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
3327, 32mpan 706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 We 𝐴 → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
34 isocnv2 6621 . . . . . . . . . . . 12 (OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) ↔ OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
3533, 34sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 We 𝐴 → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
36 wefr 5133 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 We 𝐴𝑅 Fr 𝐴)
37 isofr 6632 . . . . . . . . . . . 12 (OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) → ( E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ 𝑅 Fr 𝐴))
3837biimpar 501 . . . . . . . . . . 11 ((OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) ∧ 𝑅 Fr 𝐴) → E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
3935, 36, 38syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
4039adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
41 1onn 7764 . . . . . . . . . 10 1𝑜 ∈ ω
42 ne0i 3954 . . . . . . . . . 10 (1𝑜 ∈ ω → ω ≠ ∅)
4341, 42mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ≠ ∅)
44 fri 5105 . . . . . . . . 9 (((ω ∈ V ∧ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) ∧ (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∧ ω ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦)
4531, 40, 30, 43, 44syl22anc 1367 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦)
4645ex 449 . . . . . . 7 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦))
4726, 46syl5bir 233 . . . . . 6 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → (¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦))
4821, 47mt3i 141 . . . . 5 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω)
49 ssid 3657 . . . . 5 dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)
50 ssnnfi 8220 . . . . 5 ((dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω ∧ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin)
5148, 49, 50sylancl 695 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin)
52 simpl 472 . . . . . 6 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → 𝑅 We 𝐴)
5323oien 8484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴)
5427, 52, 53sylancr 696 . . . . 5 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴)
55 enfi 8217 . . . . 5 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴 → (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
5654, 55syl 17 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
5751, 56mpbid 222 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
587, 57jca 553 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → (𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin))
595, 58impbii 199 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) ↔ (𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685   E cep 5057   Or wor 5063   Fr wfr 5099   We wwe 5101  ccnv 5142  dom cdm 5143  Ord word 5760  Oncon0 5761  suc csuc 5763   Isom wiso 5927  ωcom 7107  1𝑜c1o 7598  cen 7994  Fincfn 7997  OrdIsocoi 8455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-fin 8001  df-oi 8456
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