Theorem wnefimgd 38962

Description: The image of a mapping from A is non empty if A is non empty. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
wnefimgd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
wnefimgd.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
wnefimgd	⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem wnefimgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3765	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
2		wnefimgd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
3		fdm 6212	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	1, 4	syl5sseqr 3795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
6		sseqin2 3960	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐹 ↔ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) = 𝐴)
7	5, 6	sylib 208	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐴) = 𝐴)
8		wnefimgd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
9	7, 8	eqnetrd 2999	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
10		imadisj 5642	. . 3 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) = ∅ ↔ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) = ∅)
11	10	necon3bii 2984	. 2 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) ≠ ∅ ↔ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
12	9, 11	sylibr 224	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐴) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ≠ wne 2932   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  dom cdm 5266   “ cima 5269  ⟶wf 6045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-br 4805  df-opab 4865  df-xp 5272  df-cnv 5274  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-fn 6052  df-f 6053

This theorem is referenced by:  imo72b2lem0  38967  imo72b2lem2  38969  imo72b2lem1  38973  imo72b2  38977