Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wnefimgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wnefimgd 38962
Description: The image of a mapping from A is non empty if A is non empty. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
wnefimgd.1 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
wnefimgd.2 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
wnefimgd (𝜑 → (𝐹𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem wnefimgd
StepHypRef Expression
1 ssid 3765 . . . . 5 𝐴𝐴
2 wnefimgd.2 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
3 fdm 6212 . . . . . 6 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
51, 4syl5sseqr 3795 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
6 sseqin2 3960 . . . 4 (𝐴 ⊆ dom 𝐹 ↔ (dom 𝐹𝐴) = 𝐴)
75, 6sylib 208 . . 3 (𝜑 → (dom 𝐹𝐴) = 𝐴)
8 wnefimgd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
97, 8eqnetrd 2999 . 2 (𝜑 → (dom 𝐹𝐴) ≠ ∅)
10 imadisj 5642 . . 3 ((𝐹𝐴) = ∅ ↔ (dom 𝐹𝐴) = ∅)
1110necon3bii 2984 . 2 ((𝐹𝐴) ≠ ∅ ↔ (dom 𝐹𝐴) ≠ ∅)
129, 11sylibr 224 1 (𝜑 → (𝐹𝐴) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wne 2932  cin 3714  wss 3715  c0 4058  dom cdm 5266  cima 5269  wf 6045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-br 4805  df-opab 4865  df-xp 5272  df-cnv 5274  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-fn 6052  df-f 6053
This theorem is referenced by:  imo72b2lem0  38967  imo72b2lem2  38969  imo72b2lem1  38973  imo72b2  38977
  Copyright terms: Public domain W3C validator