Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkwwlkbij Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkwwlkbij 27031
 Description: Lemma 4 for wlkwwlkbij2 27032. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2018.) (Revised by AV, 16-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkwwlkbij.t 𝑇 = {𝑝 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑝)) = 𝑁 ∧ ((2nd𝑝)‘0) = 𝑃)}
wlkwwlkbij.w 𝑊 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}
wlkwwlkbij.f 𝐹 = (𝑡𝑇 ↦ (2nd𝑡))
Assertion
Ref Expression
wlkwwlkbij ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹:𝑇1-1-onto𝑊)
Distinct variable groups:   𝐺,𝑝,𝑡,𝑤   𝑁,𝑝,𝑡,𝑤   𝑃,𝑝,𝑡,𝑤   𝑡,𝑇,𝑤   𝑡,𝑉   𝑡,𝑊   𝑤,𝐹   𝑤,𝑉   𝐹,𝑝   𝑇,𝑝   𝑊,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑡)   𝑉(𝑝)   𝑊(𝑤)

Proof of Theorem wlkwwlkbij
StepHypRef Expression
1 wlkwwlkbij.t . . 3 𝑇 = {𝑝 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑝)) = 𝑁 ∧ ((2nd𝑝)‘0) = 𝑃)}
2 wlkwwlkbij.w . . 3 𝑊 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}
3 wlkwwlkbij.f . . 3 𝐹 = (𝑡𝑇 ↦ (2nd𝑡))
41, 2, 3wlkwwlkinj 27029 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹:𝑇1-1𝑊)
51, 2, 3wlkwwlksur 27030 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹:𝑇onto𝑊)
6 df-f1o 6038 . 2 (𝐹:𝑇1-1-onto𝑊 ↔ (𝐹:𝑇1-1𝑊𝐹:𝑇onto𝑊))
74, 5, 6sylanbrc 564 1 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹:𝑇1-1-onto𝑊)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  {crab 3064   ↦ cmpt 4861  –1-1→wf1 6028  –onto→wfo 6029  –1-1-onto→wf1o 6030  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  1st c1st 7312  2nd c2nd 7313  0cc0 10137  ℕ0cn0 11493  ♯chash 13320  USPGraphcuspgr 26264  Walkscwlks 26726   WWalksN cwwlksn 26953 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-ifp 1049  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13321  df-word 13494  df-edg 26160  df-uhgr 26173  df-upgr 26197  df-uspgr 26266  df-wlks 26729  df-wwlks 26957  df-wwlksn 26958 This theorem is referenced by:  wlkwwlkbij2  27032
 Copyright terms: Public domain W3C validator