Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkreslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkreslem 26469
 Description: Lemma for wlkres 26470. (Contributed by AV, 5-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkres.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkres.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkres.d (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkres.n (𝜑𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
wlkres.s (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
wlkres.e (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
wlkres.h 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁))
wlkres.q 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
Assertion
Ref Expression
wlkreslem (𝜑 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))

Proof of Theorem wlkreslem
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . . 3 (𝑆 ∈ V → (𝜑𝑆 ∈ V))
2 df-nel 2894 . . . 4 (𝑆 ∉ V ↔ ¬ 𝑆 ∈ V)
3 wlkres.d . . . . . 6 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4 df-br 4624 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ ⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
5 ne0i 3903 . . . . . . . 8 (⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (Walks‘𝐺) ≠ ∅)
6 wlkres.s . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
7 wlkres.v . . . . . . . . . . . . . 14 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
86, 7syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺))
98anim1i 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑆 ∉ V) → ((Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑆 ∉ V))
109ancomd 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑆 ∉ V) → (𝑆 ∉ V ∧ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺)))
11 wlk0prc 26453 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∉ V ∧ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺)) → (Walks‘𝐺) = ∅)
12 eqneqall 2801 . . . . . . . . . . 11 ((Walks‘𝐺) = ∅ → ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → 𝑆 ∈ V))
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑆 ∉ V) → ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → 𝑆 ∈ V))
1413expcom 451 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∉ V → (𝜑 → ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → 𝑆 ∈ V)))
1514com13 88 . . . . . . . 8 ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V)))
165, 15syl 17 . . . . . . 7 (⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V)))
174, 16sylbi 207 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V)))
183, 17mpcom 38 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V))
1918com12 32 . . . 4 (𝑆 ∉ V → (𝜑𝑆 ∈ V))
202, 19sylbir 225 . . 3 𝑆 ∈ V → (𝜑𝑆 ∈ V))
211, 20pm2.61i 176 . 2 (𝜑𝑆 ∈ V)
22 wlkres.h . . 3 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁))
23 wlkres.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2423wlkf 26414 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
25 wrdf 13265 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐼)
2625ffund 6016 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → Fun 𝐹)
273, 24, 263syl 18 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐹)
28 ovex 6643 . . . 4 (0..^𝑁) ∈ V
29 resfunexg 6444 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ (0..^𝑁) ∈ V) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ V)
3027, 28, 29sylancl 693 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ V)
3122, 30syl5eqel 2702 . 2 (𝜑𝐻 ∈ V)
32 wlkres.q . . 3 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
337wlkp 26416 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
34 ffun 6015 . . . . 5 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → Fun 𝑃)
353, 33, 343syl 18 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝑃)
36 ovex 6643 . . . 4 (0...𝑁) ∈ V
37 resfunexg 6444 . . . 4 ((Fun 𝑃 ∧ (0...𝑁) ∈ V) → (𝑃 ↾ (0...𝑁)) ∈ V)
3835, 36, 37sylancl 693 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ↾ (0...𝑁)) ∈ V)
3932, 38syl5eqel 2702 . 2 (𝜑𝑄 ∈ V)
4021, 31, 393jca 1240 1 (𝜑 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   ∉ wnel 2893  Vcvv 3190  ∅c0 3897  ⟨cop 4161   class class class wbr 4623  dom cdm 5084   ↾ cres 5086   “ cima 5087  Fun wfun 5851  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  0cc0 9896  ...cfz 12284  ..^cfzo 12422  #chash 13073  Word cword 13246  Vtxcvtx 25808  iEdgciedg 25809  Walkscwlks 26396 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-hash 13074  df-word 13254  df-wlks 26399 This theorem is referenced by:  wlkres  26470
 Copyright terms: Public domain W3C validator