Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkp1lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkp1lem5 26808
 Description: Lemma for wlkp1 26812. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkp1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a (𝜑𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b (𝜑𝐵 ∈ V)
wlkp1.c (𝜑𝐶𝑉)
wlkp1.d (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
wlkp1.q 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
wlkp1.s (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
wlkp1lem5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄𝑘) = (𝑃𝑘))
Distinct variable group:   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑃(𝑘)   𝑄(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝐼(𝑘)   𝑁(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem wlkp1lem5
StepHypRef Expression
1 wlkp1.q . . . 4 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
21fveq1i 6333 . . 3 (𝑄𝑘) = ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘𝑘)
3 fzp1nel 12630 . . . . . . . . 9 ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)
4 eleq1 2837 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)))
54notbid 307 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)))
65eqcoms 2778 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) = 𝑘 → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)))
73, 6mpbiri 248 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) = 𝑘 → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 + 1) = 𝑘 → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
98con2d 131 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝑁 + 1) = 𝑘))
109imp 393 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ¬ (𝑁 + 1) = 𝑘)
1110neqned 2949 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)
12 fvunsn 6588 . . . 4 ((𝑁 + 1) ≠ 𝑘 → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘𝑘) = (𝑃𝑘))
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘𝑘) = (𝑃𝑘))
142, 13syl5eq 2816 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑄𝑘) = (𝑃𝑘))
1514ralrimiva 3114 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄𝑘) = (𝑃𝑘))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942  ∀wral 3060  Vcvv 3349   ∪ cun 3719   ⊆ wss 3721  {csn 4314  {cpr 4316  ⟨cop 4320   class class class wbr 4784  dom cdm 5249  Fun wfun 6025  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  Fincfn 8108  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140  ...cfz 12532  ♯chash 13320  Vtxcvtx 26094  iEdgciedg 26095  Edgcedg 26159  Walkscwlks 26726 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-z 11579  df-fz 12533 This theorem is referenced by:  wlkp1lem6  26809  wlkp1lem7  26810  wlkp1lem8  26811  eupth2eucrct  27394
 Copyright terms: Public domain W3C validator