Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkp1lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkp1lem3 26628
 Description: Lemma for wlkp1 26634. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkp1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a (𝜑𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b (𝜑𝐵 ∈ V)
wlkp1.c (𝜑𝐶𝑉)
wlkp1.d (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n 𝑁 = (#‘𝐹)
wlkp1.e (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
Assertion
Ref Expression
wlkp1lem3 (𝜑 → ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑁)) = ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))

Proof of Theorem wlkp1lem3
StepHypRef Expression
1 wlkp1.u . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
2 wlkp1.h . . . . 5 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
32a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
43fveq1d 6231 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝑁) = ((𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})‘𝑁))
5 wlkp1.n . . . . 5 𝑁 = (#‘𝐹)
6 fvex 6239 . . . . 5 (#‘𝐹) ∈ V
75, 6eqeltri 2726 . . . 4 𝑁 ∈ V
8 wlkp1.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ V)
9 wlkp1.w . . . . 5 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
10 wlkp1.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
1110wlkf 26566 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
12 lencl 13356 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
13 wrddm 13344 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹)))
14 fzonel 12522 . . . . . . 7 ¬ (#‘𝐹) ∈ (0..^(#‘𝐹))
155a1i 11 . . . . . . . 8 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹))) → 𝑁 = (#‘𝐹))
16 simpr 476 . . . . . . . 8 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹))) → dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹)))
1715, 16eleq12d 2724 . . . . . . 7 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹))) → (𝑁 ∈ dom 𝐹 ↔ (#‘𝐹) ∈ (0..^(#‘𝐹))))
1814, 17mtbiri 316 . . . . . 6 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹))) → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹)
1912, 13, 18syl2anc 694 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹)
209, 11, 193syl 18 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹)
21 fsnunfv 6494 . . . 4 ((𝑁 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})‘𝑁) = 𝐵)
227, 8, 20, 21mp3an2i 1469 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})‘𝑁) = 𝐵)
234, 22eqtrd 2685 . 2 (𝜑 → (𝐻𝑁) = 𝐵)
241, 23fveq12d 6235 1 (𝜑 → ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑁)) = ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∪ cun 3605   ⊆ wss 3607  {csn 4210  {cpr 4212  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  Fun wfun 5920  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  0cc0 9974  ℕ0cn0 11330  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323  Vtxcvtx 25919  iEdgciedg 25920  Edgcedg 25984  Walkscwlks 26548 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1033  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-wlks 26551 This theorem is referenced by:  wlkp1lem7  26632  wlkp1lem8  26633
 Copyright terms: Public domain W3C validator