MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkonwlk1l Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkonwlk1l 26793
Description: A walk is a walk from its first vertex to its last vertex. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
wlkonwlk1l.w (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
Assertion
Ref Expression
wlkonwlk1l (𝜑𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(lastS‘𝑃))𝑃)

Proof of Theorem wlkonwlk1l
StepHypRef Expression
1 wlkonwlk1l.w . 2 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2 eqidd 2771 . 2 (𝜑 → (𝑃‘0) = (𝑃‘0))
3 wlklenvm1 26751 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
43fveq2d 6336 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
5 eqid 2770 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
65wlkpwrd 26747 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7 lsw 13547 . . . . 5 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
86, 7syl 17 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
94, 8eqtr4d 2807 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃))
101, 9syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃))
11 wlkcl 26745 . . . . . . . 8 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
12 nn0p1nn 11533 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ)
14 wlklenvp1 26748 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
1513, 6, 14jca32 499 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))))
16 fstwrdne0 13541 . . . . . . 7 ((((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))) → (𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
17 lswlgt0cl 13552 . . . . . . 7 ((((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))) → (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺))
1816, 17jca 495 . . . . . 6 ((((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))) → ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)))
1915, 18syl 17 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)))
20 eqid 2770 . . . . . . 7 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
2120wlkf 26744 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
22 wrdv 13515 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → 𝐹 ∈ Word V)
2321, 22syl 17 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word V)
2419, 23, 6jca32 499 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))))
251, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))))
265iswlkon 26787 . . 3 ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(lastS‘𝑃))𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃))))
2725, 26syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(lastS‘𝑃))𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃))))
281, 2, 10, 27mpbir3and 1426 1 (𝜑𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(lastS‘𝑃))𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  Vcvv 3349   class class class wbr 4784  dom cdm 5249  cfv 6031  (class class class)co 6792  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140  cmin 10467  cn 11221  0cn0 11493  chash 13320  Word cword 13486  lastSclsw 13487  Vtxcvtx 26094  iEdgciedg 26095  Walkscwlks 26726  WalksOncwlkson 26727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-ifp 1049  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13321  df-word 13494  df-lsw 13495  df-wlks 26729  df-wlkson 26730
This theorem is referenced by:  3wlkond  27348
  Copyright terms: Public domain W3C validator