MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkonl1iedg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkonl1iedg 26542
Description: If there is a walk between two vertices 𝐴 and 𝐵 at least of length 1, then the start vertex 𝐴 is incident with an edge. (Contributed by AV, 4-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
wlkonl1iedg.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wlkonl1iedg ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ (#‘𝐹) ≠ 0) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴𝑒)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑒   𝑒,𝐹   𝑒,𝐺   𝑒,𝐼   𝑃,𝑒
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑒)

Proof of Theorem wlkonl1iedg
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2620 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
21wlkonprop 26535 . . 3 (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)))
3 fveq2 6178 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
4 oveq1 6642 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = (0 + 1))
5 0p1e1 11117 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
64, 5syl6eq 2670 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = 1)
76fveq2d 6182 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
83, 7preq12d 4267 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
98sseq1d 3624 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒 ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒))
109rexbidv 3048 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒))
11 wlkonl1iedg.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
1211wlkvtxiedg 26501 . . . . . . . . . 10 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)
1312adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)
1413adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) ∧ (#‘𝐹) ≠ 0) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)
15 wlkcl 26492 . . . . . . . . . . 11 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
16 elnnne0 11291 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝐹) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ≠ 0))
1716simplbi2 654 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) ≠ 0 → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
18 lbfzo0 12491 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ (#‘𝐹) ∈ ℕ)
1917, 18syl6ibr 242 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) ≠ 0 → 0 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
2015, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((#‘𝐹) ≠ 0 → 0 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
2120adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → ((#‘𝐹) ≠ 0 → 0 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
2221imp 445 . . . . . . . 8 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) ∧ (#‘𝐹) ≠ 0) → 0 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
2310, 14, 22rspcdva 3311 . . . . . . 7 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) ∧ (#‘𝐹) ≠ 0) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒)
24 fvex 6188 . . . . . . . . . . 11 (𝑃‘0) ∈ V
25 fvex 6188 . . . . . . . . . . 11 (𝑃‘1) ∈ V
2624, 25prss 4342 . . . . . . . . . 10 (((𝑃‘0) ∈ 𝑒 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑒) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒)
27 eleq1 2687 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑒𝐴𝑒))
28 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑒 → ((𝑃‘1) ∈ 𝑒𝐴𝑒))
2927, 28syl6bi 243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑒 → ((𝑃‘1) ∈ 𝑒𝐴𝑒)))
3029adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑒 → ((𝑃‘1) ∈ 𝑒𝐴𝑒)))
3130impd 447 . . . . . . . . . 10 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → (((𝑃‘0) ∈ 𝑒 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑒) → 𝐴𝑒))
3226, 31syl5bir 233 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒𝐴𝑒))
3332reximdv 3013 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → (∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴𝑒))
3433adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) ∧ (#‘𝐹) ≠ 0) → (∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴𝑒))
3523, 34mpd 15 . . . . . 6 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) ∧ (#‘𝐹) ≠ 0) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴𝑒)
3635ex 450 . . . . 5 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → ((#‘𝐹) ≠ 0 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴𝑒))
37363adant3 1079 . . . 4 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → ((#‘𝐹) ≠ 0 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴𝑒))
38373ad2ant3 1082 . . 3 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → ((#‘𝐹) ≠ 0 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴𝑒))
392, 38syl 17 . 2 (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((#‘𝐹) ≠ 0 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴𝑒))
4039imp 445 1 ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ (#‘𝐹) ≠ 0) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴𝑒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  wrex 2910  Vcvv 3195  wss 3567  {cpr 4170   class class class wbr 4644  ran crn 5105  cfv 5876  (class class class)co 6635  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924  cn 11005  0cn0 11277  ..^cfzo 12449  #chash 13100  Vtxcvtx 25855  iEdgciedg 25856  Walkscwlks 26473  WalksOncwlkson 26474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-hash 13101  df-word 13282  df-wlks 26476  df-wlkson 26477
This theorem is referenced by:  conngrv2edg  27035
  Copyright terms: Public domain W3C validator