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Theorem wilthlem2 24840
Description: Lemma for wilth 24842: induction step. The "hand proof" version of this theorem works by writing out the list of all numbers from 1 to 𝑃 − 1 in pairs such that a number is paired with its inverse. Every number has a unique inverse different from itself except 1 and 𝑃 − 1, and so each pair multiplies to 1, and 1 and 𝑃 − 1≡-1 multiply to -1, so the full product is equal to -1. Here we make this precise by doing the product pair by pair.

The induction hypothesis says that every subset 𝑆 of 1...(𝑃 − 1) that is closed under inverse (i.e. all pairs are matched up) and contains 𝑃 − 1 multiplies to -1 mod 𝑃. Given such a set, we take out one element 𝑧𝑃 − 1. If there are no such elements, then 𝑆 = {𝑃 − 1} which forms the base case. Otherwise, 𝑆 ∖ {𝑧, 𝑧↑-1} is also closed under inverse and contains 𝑃 − 1, so the induction hypothesis says that this equals -1; and the remaining two elements are either equal to each other, in which case wilthlem1 24839 gives that 𝑧 = 1 or 𝑃 − 1, and we've already excluded the second case, so the product gives 1; or 𝑧𝑧↑-1 and their product is 1. In either case the accumulated product is unaffected. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses
Ref Expression
wilthlem.t 𝑇 = (mulGrp‘ℂfld)
wilthlem.a 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∣ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥)}
wilthlem2.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
wilthlem2.s (𝜑𝑆𝐴)
wilthlem2.r (𝜑 → ∀𝑠𝐴 (𝑠𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
Assertion
Ref Expression
wilthlem2 (𝜑 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑦,𝐴   𝑃,𝑠,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠,𝑥,𝑦   𝑇,𝑠,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑠)

Proof of Theorem wilthlem2
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)})
2 wilthlem2.s . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆𝐴)
3 eleq2 2719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑆 → ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑃 − 1) ∈ 𝑆))
4 eleq2 2719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑆 → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
54raleqbi1dv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑆 → (∀𝑦𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
63, 5anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑆 → (((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)))
7 wilthlem.a . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∣ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥)}
86, 7elrab2 3399 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆𝐴 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)))
92, 8sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)))
109simprd 478 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
1110simpld 474 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ 𝑆)
1211snssd 4372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {(𝑃 − 1)} ⊆ 𝑆)
1312adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → {(𝑃 − 1)} ⊆ 𝑆)
141, 13eqssd 3653 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → 𝑆 = {(𝑃 − 1)})
1514reseq2d 5428 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ( I ↾ 𝑆) = ( I ↾ {(𝑃 − 1)}))
16 mptresid 5491 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧) = ( I ↾ {(𝑃 − 1)})
1715, 16syl6eqr 2703 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ( I ↾ 𝑆) = (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧))
1817oveq2d 6706 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → (𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) = (𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)))
1918oveq1d 6705 . . . 4 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = ((𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃))
20 wilthlem2.p . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
21 prmnn 15435 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
2322nncnd 11074 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
24 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
25 negsub 10367 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑃 + -1) = (𝑃 − 1))
2623, 24, 25sylancl 695 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 + -1) = (𝑃 − 1))
27 neg1cn 11162 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
28 addcom 10260 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑃 + -1) = (-1 + 𝑃))
2923, 27, 28sylancl 695 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 + -1) = (-1 + 𝑃))
3026, 29eqtr3d 2687 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 − 1) = (-1 + 𝑃))
31 cnring 19816 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
32 wilthlem.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (mulGrp‘ℂfld)
3332ringmgp 18599 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
3431, 33mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
35 nnm1nn0 11372 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
3622, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
3736nn0cnd 11391 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
38 cnfldbas 19798 . . . . . . . . . . 11 ℂ = (Base‘ℂfld)
3932, 38mgpbas 18541 . . . . . . . . . 10 ℂ = (Base‘𝑇)
40 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑃 − 1) → 𝑧 = (𝑃 − 1))
4139, 40gsumsn 18400 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℂ) → (𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) = (𝑃 − 1))
4234, 37, 37, 41syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) = (𝑃 − 1))
4323mulid2d 10096 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · 𝑃) = 𝑃)
4443oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-1 + (1 · 𝑃)) = (-1 + 𝑃))
4530, 42, 443eqtr4d 2695 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) = (-1 + (1 · 𝑃)))
4645oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃) = ((-1 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃))
47 neg1rr 11163 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
4847a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
4922nnrpd 11908 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
50 1zzd 11446 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
51 modcyc 12745 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
5248, 49, 50, 51syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → ((-1 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
5346, 52eqtrd 2685 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
5453adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
5519, 54eqtrd 2685 . . 3 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
5655ex 449 . 2 (𝜑 → (𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)} → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
57 nss 3696 . . 3 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)} ↔ ∃𝑧(𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)}))
58 cnfld1 19819 . . . . . . . . . 10 1 = (1r‘ℂfld)
5932, 58ringidval 18549 . . . . . . . . 9 1 = (0g𝑇)
60 cnfldmul 19800 . . . . . . . . . 10 · = (.r‘ℂfld)
6132, 60mgpplusg 18539 . . . . . . . . 9 · = (+g𝑇)
62 cncrng 19815 . . . . . . . . . . 11 fld ∈ CRing
6332crngmgp 18601 . . . . . . . . . . 11 (ℂfld ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝑇 ∈ CMnd
6564a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑇 ∈ CMnd)
662adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆𝐴)
67 f1oi 6212 . . . . . . . . . . . 12 ( I ↾ 𝑆):𝑆1-1-onto𝑆
68 f1of 6175 . . . . . . . . . . . 12 (( I ↾ 𝑆):𝑆1-1-onto𝑆 → ( I ↾ 𝑆):𝑆𝑆)
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ( I ↾ 𝑆):𝑆𝑆
709simpld 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)))
7170elpwid 4203 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⊆ (1...(𝑃 − 1)))
72 elfzelz 12380 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑧 ∈ ℤ)
7372ssriv 3640 . . . . . . . . . . . . 13 (1...(𝑃 − 1)) ⊆ ℤ
7471, 73syl6ss 3648 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ⊆ ℤ)
75 zsscn 11423 . . . . . . . . . . . 12 ℤ ⊆ ℂ
7674, 75syl6ss 3648 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
77 fss 6094 . . . . . . . . . . 11 ((( I ↾ 𝑆):𝑆𝑆𝑆 ⊆ ℂ) → ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶ℂ)
7869, 76, 77sylancr 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶ℂ)
7978adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶ℂ)
80 fzfi 12811 . . . . . . . . . . . 12 (1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin
81 ssfi 8221 . . . . . . . . . . . 12 (((1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑆 ∈ Fin)
8280, 71, 81sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
83 1ex 10073 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
8483a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ V)
8578, 82, 84fdmfifsupp 8326 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( I ↾ 𝑆) finSupp 1)
8685adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ 𝑆) finSupp 1)
87 disjdif 4073 . . . . . . . . . 10 ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∩ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ∅
8887a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∩ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ∅)
89 undif2 4077 . . . . . . . . . 10 ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ 𝑆)
90 simprl 809 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧𝑆)
9110simprd 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
9291adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ∀𝑦𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
93 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦↑(𝑃 − 2)) = (𝑧↑(𝑃 − 2)))
9493oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
9594eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑧 → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
9695rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝑆 → (∀𝑦𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆 → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
9790, 92, 96sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
98 prssi 4385 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝑆 ∧ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ 𝑆)
9990, 97, 98syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ 𝑆)
100 ssequn1 3816 . . . . . . . . . . 11 ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ 𝑆 ↔ ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ 𝑆) = 𝑆)
10199, 100sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ 𝑆) = 𝑆)
10289, 101syl5req 2698 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 = ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
10339, 59, 61, 65, 66, 79, 86, 88, 102gsumsplit 18374 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) = ((𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))))
10499resabs1d 5463 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (( I ↾ 𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
105104oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
106 difss 3770 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ 𝑆
107 resabs1 5462 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ 𝑆 → (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
108106, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
109108oveq2i 6701 . . . . . . . . . 10 (𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) = (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
110109a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) = (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
111105, 110oveq12d 6708 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) = ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))))
112103, 111eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) = ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))))
113112oveq1d 6705 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃))
114 prfi 8276 . . . . . . . . . 10 {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∈ Fin
115114a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∈ Fin)
116 zsubrg 19847 . . . . . . . . . 10 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
11732subrgsubm 18841 . . . . . . . . . 10 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘𝑇))
118116, 117mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ℤ ∈ (SubMnd‘𝑇))
119 f1oi 6212 . . . . . . . . . . 11 ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}–1-1-onto→{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}
120 f1of 6175 . . . . . . . . . . 11 (( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}–1-1-onto→{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
121119, 120ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}
12274adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 ⊆ ℤ)
12399, 122sstrd 3646 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ ℤ)
124 fss 6094 . . . . . . . . . 10 ((( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∧ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ ℤ) → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶ℤ)
125121, 123, 124sylancr 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶ℤ)
12683a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈ V)
127125, 115, 126fdmfifsupp 8326 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) finSupp 1)
12859, 65, 115, 118, 125, 127gsumsubmcl 18365 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) ∈ ℤ)
129128zred 11520 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) ∈ ℝ)
130 1red 10093 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈ ℝ)
13171adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 ⊆ (1...(𝑃 − 1)))
132131ssdifssd 3781 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ (1...(𝑃 − 1)))
133 ssfi 8221 . . . . . . . . 9 (((1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin ∧ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ Fin)
13480, 132, 133sylancr 696 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ Fin)
135 f1oi 6212 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})–1-1-onto→(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
136 f1of 6175 . . . . . . . . . 10 (( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})–1-1-onto→(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
137135, 136ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
138122ssdifssd 3781 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ ℤ)
139 fss 6094 . . . . . . . . 9 ((( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ ℤ) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶ℤ)
140137, 138, 139sylancr 696 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶ℤ)
141140, 134, 126fdmfifsupp 8326 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) finSupp 1)
14259, 65, 134, 118, 140, 141gsumsubmcl 18365 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) ∈ ℤ)
14349adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℝ+)
14434adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑇 ∈ Mnd)
14576adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 ⊆ ℂ)
146145, 90sseldd 3637 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ ℂ)
147 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑧𝑤 = 𝑧)
14839, 147gsumsn 18400 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧)
149144, 146, 146, 148syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧)
150149adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧)
151 mptresid 5491 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤) = ( I ↾ {𝑧})
152 dfsn2 4223 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑧} = {𝑧, 𝑧}
153 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → 𝑧 = 1)
154153orcd 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1)))
15520adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℙ)
156131, 90sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
157 wilthlem1 24839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1))))
158155, 156, 157syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1))))
159158biimpar 501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1))) → 𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
160154, 159syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → 𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
161160preq2d 4307 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → {𝑧, 𝑧} = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
162152, 161syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → {𝑧} = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
163162reseq2d 5428 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → ( I ↾ {𝑧}) = ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
164151, 163syl5eq 2697 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤) = ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
165164oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
166150, 165, 1533eqtr3d 2693 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = 1)
167166oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
168 df-pr 4213 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} = ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
169168reseq2i 5425 . . . . . . . . . . . . . 14 ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = ( I ↾ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
170 mptresid 5491 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤) = ( I ↾ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
171169, 170eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . . . 13 ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤)
172171oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = (𝑇 Σg (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤))
17364a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → 𝑇 ∈ CMnd)
174 snfi 8079 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑧} ∈ Fin
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → {𝑧} ∈ Fin)
176 elsni 4227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ {𝑧} → 𝑤 = 𝑧)
177176adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑤 = 𝑧)
178146adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑧 ∈ ℂ)
179177, 178eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑤 ∈ ℂ)
180179adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑤 ∈ ℂ)
181145, 97sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℂ)
182181adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℂ)
183 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})
184 velsn 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↔ 𝑧 = (𝑃 − 1))
185183, 184sylnib 317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑧 = (𝑃 − 1))
186 biorf 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧 = (𝑃 − 1) → (𝑧 = 1 ↔ (𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1)))
187185, 186syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 = 1 ↔ (𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1)))
188 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ V
189188elsn 4225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧} ↔ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧)
190 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
191189, 190bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧} ↔ 𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
192 orcom 401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1)))
193158, 191, 1923bitr4g 303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧} ↔ (𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1)))
194187, 193bitr4d 271 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 = 1 ↔ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧}))
195194necon3abid 2859 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 ≠ 1 ↔ ¬ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧}))
196195biimpa 500 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ¬ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧})
197 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → 𝑤 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
19839, 61, 173, 175, 180, 182, 196, 182, 197gsumunsn 18405 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤)) = ((𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
199172, 198syl5eq 2697 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ((𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
200149adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧)
201200oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) = (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
202199, 201eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
203202oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
204156, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ ℤ)
20522adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℕ)
206 fzm1ndvds 15091 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃𝑧)
207205, 156, 206syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑃𝑧)
208 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
209208prmdiv 15537 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑧) → (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
210155, 204, 207, 209syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
211210simprd 478 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1))
212 elfznn 12408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑧 ∈ ℕ)
213156, 212syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ ℕ)
214131, 97sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
215 elfznn 12408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℕ)
216214, 215syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℕ)
217213, 216nnmulcld 11106 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ∈ ℕ)
218217nnzd 11519 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ∈ ℤ)
219 1zzd 11446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈ ℤ)
220 moddvds 15038 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
221205, 218, 219, 220syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
222211, 221mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
223222adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
224203, 223eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
225167, 224pm2.61dane 2910 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
226 modmul1 12763 . . . . . . 7 ((((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = ((1 · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃))
227129, 130, 142, 143, 225, 226syl221anc 1377 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = ((1 · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃))
228142zcnd 11521 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) ∈ ℂ)
229228mulid2d 10096 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (1 · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) = (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
230229oveq1d 6705 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((1 · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃))
231 ovex 6718 . . . . . . . . . . 11 (1...(𝑃 − 1)) ∈ V
232231elpw2 4858 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ (1...(𝑃 − 1)))
233132, 232sylibr 224 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)))
23411adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ 𝑆)
235 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑃 − 1) ↔ (𝑃 − 1) = 𝑧)
236184, 235bitri 264 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↔ (𝑃 − 1) = 𝑧)
237183, 236sylnib 317 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ (𝑃 − 1) = 𝑧)
238 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → ((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) = (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)))
239238oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
240205, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
241 nn0uz 11760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 = (ℤ‘0)
242240, 241syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘0))
243 eluzfz2 12387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘0) → (𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
244242, 243syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
245 prmz 15436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
246155, 245syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℤ)
247122, 234sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
248 1z 11445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℤ
249 zsubcl 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) − 1) ∈ ℤ)
250247, 248, 249sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) − 1) ∈ ℤ)
251 dvdsmul1 15050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − 1) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
252246, 250, 251syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
253205nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℂ)
25424a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈ ℂ)
255240nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
256253, 254, 255subdird 10525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (1 · (𝑃 − 1))))
257253, 255mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · (𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
258257, 253, 254subsubd 10458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (𝑃 − 1)) = (((𝑃 · (𝑃 − 1)) − 𝑃) + 1))
259255mulid2d 10096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (1 · (𝑃 − 1)) = (𝑃 − 1))
260259oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (1 · (𝑃 − 1))) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (𝑃 − 1)))
261253, 255, 254subdid 10524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (𝑃 · 1)))
262253mulid1d 10095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · 1) = 𝑃)
263262oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (𝑃 · 1)) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − 𝑃))
264261, 263eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − 𝑃))
265264oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1) = (((𝑃 · (𝑃 − 1)) − 𝑃) + 1))
266258, 260, 2653eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (1 · (𝑃 − 1))) = ((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1))
267256, 266eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) = ((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1))
268267oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1) = (((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1) − 1))
269250zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) − 1) ∈ ℂ)
270253, 269mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) ∈ ℂ)
271 pncan 10325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1) − 1) = (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
272270, 24, 271sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1) − 1) = (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
273268, 272eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1) = (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
274252, 273breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∥ (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1))
275131, 234sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
276 fzm1ndvds 15091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑃 − 1))
277205, 275, 276syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑃 − 1))
278 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
279278prmdiveq 15538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ (𝑃 − 1)) → (((𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1)) ↔ (𝑃 − 1) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
280155, 247, 277, 279syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1)) ↔ (𝑃 − 1) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
281244, 274, 280mpbi2and 976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
282208prmdivdiv 15539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑧 = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
283155, 156, 282syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
284281, 283eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) = 𝑧 ↔ (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
285239, 284syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (𝑃 − 1) = 𝑧))
286237, 285mtod 189 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
287 ioran 510 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ ((𝑃 − 1) = 𝑧 ∨ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ↔ (¬ (𝑃 − 1) = 𝑧 ∧ ¬ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
288237, 286, 287sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ ((𝑃 − 1) = 𝑧 ∨ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
289 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 − 1) ∈ V
290289elpr 4231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 − 1) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ ((𝑃 − 1) = 𝑧 ∨ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
291288, 290sylnibr 318 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ (𝑃 − 1) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
292234, 291eldifd 3618 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
293 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → 𝑦𝑆)
29492r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
295293, 294sylan2 490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
296 eldif 3617 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↔ (𝑦𝑆 ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
297155adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑃 ∈ ℙ)
298131sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
299 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
300299prmdivdiv 15539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑦 = ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
301297, 298, 300syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦 = ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
302 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) = (𝑧↑(𝑃 − 2)))
303302oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 → ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
304303eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 → (𝑦 = ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ↔ 𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
305301, 304syl5ibcom 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
306 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) = (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)))
307306oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
308283adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑧 = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
309301, 308eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
310307, 309syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → 𝑦 = 𝑧))
311305, 310orim12d 901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 ∨ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) → (𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∨ 𝑦 = 𝑧)))
312 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ V
313312elpr 4231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 ∨ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
314 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦 ∈ V
315314elpr 4231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ (𝑦 = 𝑧𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
316 orcom 401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 = 𝑧𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ↔ (𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∨ 𝑦 = 𝑧))
317315, 316bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ (𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∨ 𝑦 = 𝑧))
318311, 313, 3173imtr4g 285 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} → 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
319318con3d 148 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → (¬ 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} → ¬ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
320319impr 648 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ (𝑦𝑆 ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ¬ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
321296, 320sylan2b 491 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ¬ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
322295, 321eldifd 3618 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
323322ralrimiva 2995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
324292, 323jca 553 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
325 eleq2 2719 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
326 eleq2 2719 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
327326raleqbi1dv 3176 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (∀𝑦𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
328325, 327anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
329328, 7elrab2 3399 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
330233, 324, 329sylanbrc 699 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝐴)
331 wilthlem2.r . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑠𝐴 (𝑠𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
332331adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ∀𝑠𝐴 (𝑠𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
333 sseqin2 3850 . . . . . . . . . . 11 ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ 𝑆 ↔ (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
33499, 333sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
335 vex 3234 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ V
336335prnz 4341 . . . . . . . . . . 11 {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ≠ ∅
337336a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ≠ ∅)
338334, 337eqnetrd 2890 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ≠ ∅)
339 disj4 4058 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = ∅ ↔ ¬ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆)
340339necon2abii 2873 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆 ↔ (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ≠ ∅)
341338, 340sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆)
342 psseq1 3727 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (𝑠𝑆 ↔ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆))
343 reseq2 5423 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ( I ↾ 𝑠) = ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
344343oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) = (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
345344oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃))
346345eqeq1d 2653 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
347342, 346imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ((𝑠𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ↔ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
348347rspcv 3336 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝐴 → (∀𝑠𝐴 (𝑠𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
349330, 332, 341, 348syl3c 66 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
350230, 349eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((1 · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
351113, 227, 3503eqtrd 2689 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
352351ex 449 . . . 4 (𝜑 → ((𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
353352exlimdv 1901 . . 3 (𝜑 → (∃𝑧(𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
35457, 353syl5bi 232 . 2 (𝜑 → (¬ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)} → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
35556, 354pm2.61d 170 1 (𝜑 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  wpss 3608  c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cmpt 4762   I cid 5052  cres 5145  wf 5922  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997   finSupp cfsupp 8316  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cmin 10304  -cneg 10305  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  ...cfz 12364   mod cmo 12708  cexp 12900  cdvds 15027  cprime 15432   Σg cgsu 16148  Mndcmnd 17341  SubMndcsubmnd 17381  CMndccmn 18239  mulGrpcmgp 18535  Ringcrg 18593  CRingccrg 18594  SubRingcsubrg 18824  fldccnfld 19794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-phi 15518  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-subrg 18826  df-cnfld 19795
This theorem is referenced by:  wilthlem3  24841
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