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Theorem wilth 24842
Description: Wilson's theorem. A number is prime iff it is greater or equal to 2 and (𝑁 − 1)! is congruent to -1, mod 𝑁, or alternatively if 𝑁 divides (𝑁 − 1)! + 1. In this part of the proof we show the relatively simple reverse implication; see wilthlem3 24841 for the forward implication. This is Metamath 100 proof #51. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
wilth (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)))

Proof of Theorem wilth
Dummy variables 𝑥 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 15455 . . 3 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
2 eqid 2651 . . . 4 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
3 eleq2 2719 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑁 − 1) ∈ 𝑧 ↔ (𝑁 − 1) ∈ 𝑥))
4 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑦 → (𝑛↑(𝑁 − 2)) = (𝑦↑(𝑁 − 2)))
54oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑦 → ((𝑛↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) = ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁))
65eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑦 → (((𝑛↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧))
76cbvralv 3201 . . . . . . 7 (∀𝑛𝑧 ((𝑛↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑦𝑧 ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧)
8 eleq2 2719 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑥))
98raleqbi1dv 3176 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑦𝑧 ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑦𝑥 ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑥))
107, 9syl5bb 272 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑛𝑧 ((𝑛↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑦𝑥 ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑥))
113, 10anbi12d 747 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → (((𝑁 − 1) ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑛𝑧 ((𝑛↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑥)))
1211cbvrabv 3230 . . . 4 {𝑧 ∈ 𝒫 (1...(𝑁 − 1)) ∣ ((𝑁 − 1) ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑛𝑧 ((𝑛↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧)} = {𝑥 ∈ 𝒫 (1...(𝑁 − 1)) ∣ ((𝑁 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑥)}
132, 12wilthlem3 24841 . . 3 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1))
141, 13jca 553 . 2 (𝑁 ∈ ℙ → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)))
15 simpl 472 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
16 elfzuz 12376 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ (ℤ‘2))
1716adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘2))
18 eluz2nn 11764 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ‘2) → 𝑛 ∈ ℕ)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
20 elfzuz3 12377 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑛))
2120adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑛))
22 dvdsfac 15095 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
2319, 21, 22syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
24 eluz2nn 11764 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2524ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
26 nnm1nn0 11372 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
27 faccl 13110 . . . . . . . . 9 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
2928nnzd 11519 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
30 eluz2b2 11799 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛))
3130simprbi 479 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑛)
3217, 31syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 1 < 𝑛)
33 ndvdsp1 15182 . . . . . . 7 (((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛) → (𝑛 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑛 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)))
3429, 19, 32, 33syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (𝑛 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑛 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)))
3523, 34mpd 15 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1))
36 simplr 807 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1))
3719nnzd 11519 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
3825nnzd 11519 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
3929peano2zd 11523 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ((!‘(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℤ)
40 dvdstr 15065 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑛𝑁𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) → 𝑛 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)))
4137, 38, 39, 40syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ((𝑛𝑁𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) → 𝑛 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)))
4236, 41mpan2d 710 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (𝑛𝑁𝑛 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)))
4335, 42mtod 189 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛𝑁)
4443ralrimiva 2995 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) → ∀𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑛𝑁)
45 isprm3 15443 . . 3 (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑛𝑁))
4615, 44, 45sylanbrc 699 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) → 𝑁 ∈ ℙ)
4714, 46impbii 199 1 (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  𝒫 cpw 4191   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cmin 10304  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364   mod cmo 12708  cexp 12900  !cfa 13100  cdvds 15027  cprime 15432  mulGrpcmgp 18535  fldccnfld 19794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-phi 15518  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-subrg 18826  df-cnfld 19795
This theorem is referenced by:  wilthimp  24843
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