Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  welb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem welb 33836
Description: A nonempty subset of a well-ordered set has a lower bound. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
welb ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → (𝑅 Or 𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧

Proof of Theorem welb
StepHypRef Expression
1 wess 5245 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐵))
21impcom 445 . . . . 5 ((𝑅 We 𝐴𝐵𝐴) → 𝑅 We 𝐵)
3 weso 5249 . . . . 5 (𝑅 We 𝐵𝑅 Or 𝐵)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝐵𝐴) → 𝑅 Or 𝐵)
5 cnvso 5827 . . . 4 (𝑅 Or 𝐵𝑅 Or 𝐵)
64, 5sylib 208 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝐵𝐴) → 𝑅 Or 𝐵)
763ad2antr2 1202 . 2 ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Or 𝐵)
8 wefr 5248 . . . . 5 (𝑅 We 𝐵𝑅 Fr 𝐵)
92, 8syl 17 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝐵𝐴) → 𝑅 Fr 𝐵)
1093ad2antr2 1202 . . 3 ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Fr 𝐵)
11 ssid 3757 . . . . . 6 𝐵𝐵
1211a1i 11 . . . . 5 (𝐵𝐴𝐵𝐵)
13123anim2i 1156 . . . 4 ((𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → (𝐵𝐶𝐵𝐵𝐵 ≠ ∅))
1413adantl 473 . . 3 ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → (𝐵𝐶𝐵𝐵𝐵 ≠ ∅))
15 frinfm 33835 . . 3 ((𝑅 Fr 𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐵𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
1610, 14, 15syl2anc 696 . 2 ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
177, 16jca 555 1 ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → (𝑅 Or 𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072  wcel 2131  wne 2924  wral 3042  wrex 3043  wss 3707  c0 4050   class class class wbr 4796   Or wor 5178   Fr wfr 5214   We wwe 5216  ccnv 5257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pr 5047
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-br 4797  df-opab 4857  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-cnv 5266
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator