Theorem ween 8971

Description: A set is numerable iff it can be well-ordered. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ween	⊢ (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑟

Proof of Theorem ween

Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac8b 8967	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
2		weso 5209	. . . . 5 ⊢ (𝑟 We 𝐴 → 𝑟 Or 𝐴)
3		vex 3307	. . . . 5 ⊢ 𝑟 ∈ V
4		soex 7226	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 Or 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
5	2, 3, 4	sylancl 697	. . . 4 ⊢ (𝑟 We 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
6	5	exlimiv 1971	. . 3 ⊢ (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
7		unipw 5023	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴
8		weeq2 5207	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴 → (𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑟 We 𝐴))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑟 We 𝐴)
10	9	exbii 1887	. . . 4 ⊢ (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴 ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
11	10	biimpri 218	. . 3 ⊢ (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → ∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴)
12		pwexg 4955	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ∈ V)
13		dfac8c 8969	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
15		dfac8a 8966	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → 𝐴 ∈ dom card))
16	14, 15	syld 47	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ dom card))
17	6, 11, 16	sylc 65	. 2 ⊢ (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → 𝐴 ∈ dom card)
18	1, 17	impbii 199	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1596  ∃wex 1817   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2896  ∀wral 3014  Vcvv 3304  ∅c0 4023  𝒫 cpw 4266  ∪ cuni 4544   Or wor 5138   We wwe 5176  dom cdm 5218  ‘cfv 6001  cardccrd 8874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-en 8073  df-card 8878

This theorem is referenced by:  ondomen  8973  dfac10  9072  zorn2lem7  9437  fpwwe  9581  canthnumlem  9583  canthp1lem2  9588  pwfseqlem4a  9596  pwfseqlem4  9597  fin2so  33628